Invertible Derivados

Question

Estoy tratando de actualizarme en algunos geometría diferencial, pero hay un punto sutil que no entiendo. Supongamos $h$ es un diffeomorphism. A continuación, las notas de la conferencia aquí sugieren que es derivado $df_x$ es invertible lineal mapa. Por qué precisamente hace el invertibility de $df_x$ seguir a partir de ese $f$?

Disculpas si este es un trivial de preguntas estoy un poco fuera de práctica, con un total de derivados!

Answer 1

Un diffeomorphism es un buen bijection con un suave inversa. Así que si $f: M \longrightarrow N$ es un diffeomorphism, es un suave bijection y a la inversa mapa de $f^{-1}: N \longrightarrow M$ es suave, así que $d(f^{-1})_y$ existe en todos los $y \in N$. $f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_M$ y $f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_N$, por lo que tenemos que $$\mathrm{Id}_{T_x M} = d(f^{-1} \circ f)_x = d(f^{-1})_{f(x)} \circ df_x$$ y $$\mathrm{Id}_{T_{f(x)} N} = d(f \circ f^{-1})_{f(x)} = df_x \circ d(f^{-1})_{f(x)}$$ para cualquier $x \in M$ (se aplica la regla de la cadena anterior), lo que implica que $df_x$ $d(f^{-1})_{f(x)}$ son mutua recíproca. Por lo tanto, $df_x$ es invertible y $(df_x)^{-1} = d(f^{-1})_{f(x)}$.