Cuadros monocromáticos en un plano de color

Question

Colorea cada punto en el plano real usando los colores azul, amarillo solamente. Se puede demostrar que existe un rectángulo que tiene todos los vértices con el mismo color. ¿Es posible demostrar que existe un cuadrado que tiene todos los vértices del mismo color? Si no es posible, por favor dame un ejemplo de una coloración del plano real que no tenga cuadrados monocromáticos.

Para que los espectadores se hagan una idea de otros resultados similares (que podrían encontrar útiles), para cualquier coloración (2 colores) del plano real:

1) Existen tres puntos colineales que tienen el mismo color, de manera que uno de los puntos es el punto medio del segmento de línea que une los otros dos.

2)Para dos ángulos cualesquiera $\theta,\phi$ existe un triángulo monocromático que tiene ángulos $\theta,\phi,180-(\theta+\phi)$

3)Para cualquier ángulo $\theta$ existe un paralelogramo monocromático con ángulo $\theta$

Ahora es natural preguntarse si hay cuadros monocromáticos.

Gracias

Answer 1

Molina, Oza, y Puttagunta, Sane límites en los números de tipo Van der Waerden, escribe,

Se sabe que, independientemente de cómo se coloreen de rojo y azul los puntos de la red de un plano de coordenadas, existe un cuadrado cuyas esquinas son del mismo color (un cuadrado monocromático). De hecho, el uso de más de dos colores seguirá garantizando un cuadrado monocromático (uno cuyos vértices son del mismo color). Por tanto, para todos los $c$ (el número de colores), hay un número $G(c)$ donde todas las coloraciones con $c$ colores de los puntos de la red de un $G(c) \times G(c)$ contendrá un cuadrado monocromático. Por desgracia, se desconoce el número necesario de puntos, pero se conocen límites. Estos límites son enormes (aproximadamente $G(c)\le2^{2^c}\times2^{2^{2^{2^{2c}}}}$ ).

Las referencias que citan son

1. W. Gasarch, C. Kruskal y A. Parrish. Van der Waerden teorema : Variantes y aplicaciones. [Pero el capítulo que se supone que es sobre "El teorema del cuadrado" no está allí]

2. R. Graham, B. Rothchild y J. Spencer. Ramsey Theory. Wiley, 1990.

3. B. Landmann y A. Robertson. Ramsey Theory over the integers. AMS, 2003.

Answer 2

Se ha resuelto el caso de los cuadrados monocolor en una cuadrícula de 2 colores:

• Un infinito $13$ -La franja ancha de la cuadrícula puede ser coloreada para evitar los monocuadros
• a $14{\times}14$ la rejilla se puede colorear para evitar los monocuadros
• a $14{\times}15$ La cuadrícula debe contener un cuadrado monocolor

R Bacher y S Eliahou: Matrices binarias extremas sin constantes de 2 cuadrados

Una versión de un $14{\times}14$ Se muestra una cuadrícula sin un cuadrado monocolor, adaptada a partir de una imagen del artículo: