Clase máxima de Baire de una función integrable de Riemann

Question

En esta respuesta (ver ejemplo 1), Andrés Caicedo da un ejemplo de una función $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ que es integrable de Riemann y es (estrictamente) de segunda clase Baire.

¿Existen funciones integrables de Riemann de clase Baire superior? ¿Arbitrariamente altas? ¿Existen funciones integrables de Riemann que no pertenezcan a ninguna clase Baire?

Para ser precisos, recordemos que para un ordinal $\alpha$ la clase Baire $B_{\alpha}$ se define inductivamente como sigue. $B_0$ es el conjunto de todas las funciones continuas $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ . Entonces, una vez $B_\beta$ se construyen para todos los $\beta < \alpha$ decimos que $f \in B_\alpha$ si existe una secuencia $f_n \in \bigcup_{\beta < \alpha} B_\beta$ con $f_n \to f$ en sentido estricto. Nótese que esto se estabiliza en $\alpha = \omega_1$ .

Si $\mathcal{R}$ es el conjunto de todas las funciones integrables de Riemann, mi pregunta es: ¿tenemos $\mathcal{R} \subset B_\alpha$ para algunos $\alpha$ ? Si es así, ¿cuál es la menor $\alpha$ ? Si no es así, ¿cuál es la menor $\alpha$ tal que $\mathcal{R} \cap B_{\omega_1} \subset B_\alpha$ ?

Por supuesto, puede ser útil recordar que $f$ es integrable de Riemann si el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida de Lebesgue cero.

Answer 1

Para complementar su respuesta de que existen funciones integrables de Riemann en clases de Baire arbitrariamente altas (por cierto, observe que hay $2^c$ muchas funciones integrables de Riemann y sólo $c$ muchas funciones Baire), hay un sentido en el que el conjunto de funciones integrables de Riemann tiene una intersección muy, muy pequeña con cada una de estas clases Baire.

Entre otros resultados demostrados en el siguiente trabajo, Marcus demuestra que para cada ordinal contable $\alpha,$ el conjunto de funciones integrables de Riemann en el espacio normado de Baire- acotado $\alpha$ funciones de $[a,b]$ a $\mathbb R$ con la norma sup es un conjunto no denso en este espacio.

Salomón Marcus, Observaciones sobre las funciones integrables en el sentido de Riemann [Observaciones sobre funciones integrables en el sentido de Riemann], Boletín Matemático de la Sociedad de Ciencias Matemáticas y Físicas de la República Popular Rumana (N.S.) 2(50) #4 (1958), 433-439. MR 22 #12180; Zbl 93.05901

Creo que hay varias versiones más fuertes y/o más generales de este resultado, pero no estoy en condiciones de investigarlo ahora.

Answer 2

En realidad me he dado cuenta de que esto es bastante trivial. Dejemos que $C$ sea el conjunto de Cantor, y sea $A \subset C$ sea cualquier conjunto que no sea Borel. Entonces $f = 1_A$ no es Borel, por lo tanto no está en ninguna clase Baire. Pero $f=0$ en el conjunto abierto $C^c$ Así que $f$ es continua en cada punto de $C^c$ que tiene la medida completa. Por lo tanto, $f$ es integrable de Riemann.

Desde $C$ es un espacio polaco incontable, también deberíamos poder hacer lo mismo con los conjuntos $A$ que son de una complejidad lo suficientemente alta como para que $1_A$ está en una clase Baire arbitrariamente alta.