En esta respuesta (ver ejemplo 1), Andrés Caicedo da un ejemplo de una función $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ que es integrable de Riemann y es (estrictamente) de segunda clase Baire.
¿Existen funciones integrables de Riemann de clase Baire superior? ¿Arbitrariamente altas? ¿Existen funciones integrables de Riemann que no pertenezcan a ninguna clase Baire?
Para ser precisos, recordemos que para un ordinal $\alpha$ la clase Baire $B_{\alpha}$ se define inductivamente como sigue. $B_0$ es el conjunto de todas las funciones continuas $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ . Entonces, una vez $B_\beta$ se construyen para todos los $\beta < \alpha$ decimos que $f \in B_\alpha$ si existe una secuencia $f_n \in \bigcup_{\beta < \alpha} B_\beta$ con $f_n \to f$ en sentido estricto. Nótese que esto se estabiliza en $\alpha = \omega_1$ .
Si $\mathcal{R}$ es el conjunto de todas las funciones integrables de Riemann, mi pregunta es: ¿tenemos $\mathcal{R} \subset B_\alpha$ para algunos $\alpha$ ? Si es así, ¿cuál es la menor $\alpha$ ? Si no es así, ¿cuál es la menor $\alpha$ tal que $\mathcal{R} \cap B_{\omega_1} \subset B_\alpha$ ?
Por supuesto, puede ser útil recordar que $f$ es integrable de Riemann si el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida de Lebesgue cero.
