Daniel Fischer proporcionó la mayor parte de la información (incluyendo Edwards uso de $\,\operatorname{Li}(x)$ en lugar de $\,\operatorname{li}(x)$ con la posible confusión con el polylogarithm $\operatorname{Li}_s(x)$ ), pero vamos a añadir algunos detalles y generalidades.
Respecto a su segunda pregunta, la idea es que :
\begin{align}
\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\int_{0}^{1-\epsilon}\frac{dz}{\log z}+\int_{C_{\epsilon}}\frac{dz}{\log z}+\int_{1+\epsilon}^\infty\frac{dz}{\log z}\right]&=P\int_{0}^\infty\frac{dz}{\log z}+\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{C_{\epsilon}}\frac{dz}{\log z}\\
&=\operatorname{li}(x) -\left(i\pi\;\underset{z=1}{\operatorname{Res}}\frac 1{\log z}\right)\\
&=\operatorname{li}(x) -i\pi\\
\end{align}
donde la representación integral de la logarítmica integral fue reemplazado por $\operatorname{li}(x)$, mientras que la integral sobre el pequeño semicírculo $C_\epsilon$ es, por supuesto, menos la integral sobre el contorno de radio $\epsilon$ $\,\theta=0$ $\theta=\phi\,$($\phi=\pi$ aquí). En el límite de $\,\epsilon\to 0$ esta última integral converge a $\;\displaystyle i\,\phi\;\underset{z=1}{\operatorname{Res}}\frac 1{\log z}\,$ como se demostró en la tercera parte de esta respuesta.
Llegando a su primera pregunta que vamos a notar que el logarítmica integral se define como un valor principal de Cauchy en torno a $1$. El $-i\pi\,$ es un término (bondad de ajuste) que apareció desde el contorno de integración debido a que el (la mitad)-singularidad en $z=1$ y no está vinculada a $\;\operatorname{li}(0)=0$.
Para hacer esto más claro y desde esta manera de cortar el poste en dos partes' (es decir, el caso de $\phi=\pi$) aparece muy a menudo vamos a considerar todo el contorno cerrado por la mitad de un círculo de radio de $R$ sobre la parte superior del plano complejo. Vamos a distinguir estos tres contornos $C$,
supongamos que $f(z)$ es analítica en la mitad superior del plano (incluyendo la línea real), excepto en simple polos y que la contribución de la mitad superior del círculo se va a$0$$R\to +\infty$.
Luego podemos intentar calcular $\;\displaystyle I:=P\int_{-\infty}^\infty f(z)\;dz\;$ el uso de estos tres contornos :
a) La '$z_0$ fuera el caso fue examinado antes. El contorno integral regresaría al límite de $\epsilon\to 0$$R\to +\infty$ :
$$I-\pi \,i\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)=2\,\pi\,i\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)$$
b) Aquí $z_0$ está en el interior del contorno y nos pondremos $$I+\pi \,i\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)=2\,\pi\,i\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)$$
$\quad$desde $z_0$ aparece en la suma a la derecha $\;I\,$ será el mismo que en a).
c) Imagina que el residuo de un poste de $z_0$ en una línea del contorno simplemente cuenta como un medio de residuos a continuación :
$$I=2\,\pi\,i\left[\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)+\frac 12\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)\right]$$
$\quad$en armonía con a) y b).
$\quad$Podemos generalizar esta última fórmula :
Para cada residuo de simple polo $c_j$ sobre el contorno de reemplazar el $2\,\pi$ constante de los residuos teorema del ángulo de $\phi_j$ entre el saliente y entrante de la tangente a las líneas en $c_j$ (si estas tangentes existen) para obtener :
$$I=2\,\pi\,i\,\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)+\sum_{c_j\;\text{on}\;C} \phi_j\;i\;\underset{z=c_j}{\operatorname{Res}}f(z)$$
Este tercer método debe hacer las cosas más fáciles de recordar y calcular!
Vamos a evaluar los $\;I(\phi):=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz\;$ más de un parcial de contorno circular centrada en $z_0$ de ángulo de $\phi$ (esta foto y parte de la discusión es el extracto de Ablowitz y Fokas' excelente 'Complejo de Variables).
Si $f(z)$ es regular en un barrio de $z_0$, excepto en el simple polo $z_0$ $\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} f(z)=C_{-1}$ a continuación, a partir de su Laurent expansión; $f(z)$ puede ser reescrita como :
$$f(z)=\frac{C_{-1}}{z-z_0}+g(z)$$
con $g(z)$ analítica en el barrio, de modo que :
$$I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{C_{-1}}{z-z_0}dz+\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}g(z)\,dz$$
La integral de $g(z)$ desaparecerá en el límite ya $g(z)$ es analítica en el barrio y por lo tanto $|g(z)|<M=$constante con un camino de longitud $\to 0$.
Mientras podemos sustituir el $\,z=z(\theta)=z_0+\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}\,$ en las otras integral para obtener :
$$I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{C_{-1}}{z-z_0}dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\phi\frac{C_{-1}}{\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}}i\,\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}\;d\theta$$
Que es $$\boxed{\displaystyle I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz=i\,\phi\;C_{-1}}$$