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Dos preguntas con respecto a $\mathrm {Li}$ a partir de "Edwards"

Agradecería ayuda para la comprensión de una relación en la que Edwards "Riemann Zeta Función."

En la página 30 se tiene:

$$\int_{C^{+}} \frac{t^{\beta - 1}}{\log t}dt = \int_{0}^{x^{\beta}}\frac{du}{\log u}= \mathrm {Li} (x^{\beta}) - i\pi$$

Él los estados para $\beta$ positivo y real, el cambio de las variables de $u = t^{\beta}$, lo que implica $\log t = \log u/\beta$$dt/t = du/u \beta$.

Aquí $C^{+}$ es un camino que es un segmento de línea de $0$ $1 - \epsilon$y pasa por encima de la singularidad en $u = 1$ en un semi-círculo en la mitad superior del plano-y continúa en un segmento de la línea de$1 + \epsilon$$1$.

Agradecería ayuda con dos aspectos:

-- Ya que la mayoría de los debates de la integral logarítmica he visto tomar la integral de $2$ más que de $0$, ¿cómo se puede tratar lo que se ve como un $- \mathrm {Li}(0)$ plazo?

-- ¿Cómo se puede lograr el $- i \pi$ plazo. Me imagino que es a partir de la integración de alrededor de la mitad de círculo por encima de $u = 1$ en dirección de las agujas. Pero he tratado de parametrización con $u = r e^{i \theta}$. Tal vez esto es algo que debo saber de análisis complejo.

Muchas gracias.

3voto

MrTuttle Puntos 1116

La notación estándar es $\DeclareMathOperator{\li}{li} \DeclareMathOperator{\Li}{Li}$

$$\begin{align} \li x &= \int_0^x \frac{dt}{\log t}\\ \Li x &= \int_2^x \frac{dt}{\log t} = \li x - \li 2 \end{align}$$

donde el $\li$ integral, debe interpretarse como el valor principal de Cauchy

$$\li x = \lim_{\varepsilon \searrow 0} \left(\int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\log t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\log x}\right)$$

para $x > 1$ (y lo mismo para el $\Li$ integral si $x < 1$; ni la integral es finito para $x = 1$).

La integración sobre el camino de $C^+$ da

$$\begin{align} \int_{C^+} \frac{t^{\beta-1}}{\log t}\, dt &= \int_0^{1-\varepsilon} \frac{t^{\beta-1}}{\log t}\,dt + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{t^{\beta-1}}{\log t}\,dt + \underbrace{\int_0^\pi \frac{(1+\varepsilon e^{i(\pi-\varphi)})^{\beta-1}}{\log (1+\varepsilon e^{i(\pi-\varphi)})} (-i\varepsilon e^{i(\pi-\varphi)})\,d\varphi}_{\rho(\varepsilon)}\\ &= \int_0^{(1-\varepsilon)^{\beta}} \frac{du}{\log u} + \int_{(1+\varepsilon)^{\beta}}^{x^\beta} \frac{du}{\log u} + \rho(\varepsilon). \end{align}$$

Aunque $(1-\varepsilon)^\beta$ $(1+\varepsilon)^\beta$ no ( $\beta \neq 1$ ) bastante simétrico con respecto al $1$, tenemos

$$\lim_{\varepsilon\searrow 0} \left(\int_0^{(1-\varepsilon)^{\beta}} \frac{du}{\log u} + \int_{(1+\varepsilon)^{\beta}}^{x^\beta} \frac{du}{\log u}\right) = \li(x^\beta),$$

dado que la asimetría es de orden $O(\varepsilon^2)$.

Por una Laurent expansión de $\dfrac{z^{\beta-1}}{\log z}$ $1$ (o por varios otros medios), uno puede ver fácilmente que

$$\lim_{\varepsilon\searrow 0} \rho(\varepsilon) = -\pi i \operatorname{Res}_{z=1} \frac{z^{\beta-1}}{\log z} = -\pi i.$$

Puesto que la integral sobre la $C^+$ no depende de $\varepsilon > 0$ por Cauchy de la integral teorema, tenemos

$$\int_{C^+} \frac{t^{\beta-1}}{\log t}\, dt = \li(x^\beta) -\pi i.$$

Edwards parece que el uso no estándar de notación y llama a$\Li$, lo que generalmente se llama $\li$.

2voto

user21783 Puntos 11

Daniel Fischer proporcionó la mayor parte de la información (incluyendo Edwards uso de $\,\operatorname{Li}(x)$ en lugar de $\,\operatorname{li}(x)$ con la posible confusión con el polylogarithm $\operatorname{Li}_s(x)$ ), pero vamos a añadir algunos detalles y generalidades.

Respecto a su segunda pregunta, la idea es que : \begin{align} \lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\int_{0}^{1-\epsilon}\frac{dz}{\log z}+\int_{C_{\epsilon}}\frac{dz}{\log z}+\int_{1+\epsilon}^\infty\frac{dz}{\log z}\right]&=P\int_{0}^\infty\frac{dz}{\log z}+\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{C_{\epsilon}}\frac{dz}{\log z}\\ &=\operatorname{li}(x) -\left(i\pi\;\underset{z=1}{\operatorname{Res}}\frac 1{\log z}\right)\\ &=\operatorname{li}(x) -i\pi\\ \end{align} donde la representación integral de la logarítmica integral fue reemplazado por $\operatorname{li}(x)$, mientras que la integral sobre el pequeño semicírculo $C_\epsilon$ es, por supuesto, menos la integral sobre el contorno de radio $\epsilon$ $\,\theta=0$ $\theta=\phi\,$($\phi=\pi$ aquí). En el límite de $\,\epsilon\to 0$ esta última integral converge a $\;\displaystyle i\,\phi\;\underset{z=1}{\operatorname{Res}}\frac 1{\log z}\,$ como se demostró en la tercera parte de esta respuesta.

Llegando a su primera pregunta que vamos a notar que el logarítmica integral se define como un valor principal de Cauchy en torno a $1$. El $-i\pi\,$ es un término (bondad de ajuste) que apareció desde el contorno de integración debido a que el (la mitad)-singularidad en $z=1$ y no está vinculada a $\;\operatorname{li}(0)=0$.


Para hacer esto más claro y desde esta manera de cortar el poste en dos partes' (es decir, el caso de $\phi=\pi$) aparece muy a menudo vamos a considerar todo el contorno cerrado por la mitad de un círculo de radio de $R$ sobre la parte superior del plano complejo. Vamos a distinguir estos tres contornos $C$, three cases

supongamos que $f(z)$ es analítica en la mitad superior del plano (incluyendo la línea real), excepto en simple polos y que la contribución de la mitad superior del círculo se va a$0$$R\to +\infty$.
Luego podemos intentar calcular $\;\displaystyle I:=P\int_{-\infty}^\infty f(z)\;dz\;$ el uso de estos tres contornos :

a) La '$z_0$ fuera el caso fue examinado antes. El contorno integral regresaría al límite de $\epsilon\to 0$$R\to +\infty$ : $$I-\pi \,i\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)=2\,\pi\,i\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)$$ b) Aquí $z_0$ está en el interior del contorno y nos pondremos $$I+\pi \,i\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)=2\,\pi\,i\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)$$ $\quad$desde $z_0$ aparece en la suma a la derecha $\;I\,$ será el mismo que en a).

c) Imagina que el residuo de un poste de $z_0$ en una línea del contorno simplemente cuenta como un medio de residuos a continuación : $$I=2\,\pi\,i\left[\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)+\frac 12\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}}f(z)\right]$$

$\quad$en armonía con a) y b).

$\quad$Podemos generalizar esta última fórmula :
Para cada residuo de simple polo $c_j$ sobre el contorno de reemplazar el $2\,\pi$ constante de los residuos teorema del ángulo de $\phi_j$ entre el saliente y entrante de la tangente a las líneas en $c_j$ (si estas tangentes existen) para obtener :

$$I=2\,\pi\,i\,\sum_{z_i\;\text{inside}\;C} \;\underset{z=z_i}{\operatorname{Res}}f(z)+\sum_{c_j\;\text{on}\;C} \phi_j\;i\;\underset{z=c_j}{\operatorname{Res}}f(z)$$

Este tercer método debe hacer las cosas más fáciles de recordar y calcular!


Vamos a evaluar los $\;I(\phi):=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz\;$ más de un parcial de contorno circular centrada en $z_0$ de ángulo de $\phi$ (esta foto y parte de la discusión es el extracto de Ablowitz y Fokas' excelente 'Complejo de Variables).

circular contour

Si $f(z)$ es regular en un barrio de $z_0$, excepto en el simple polo $z_0$ $\;\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} f(z)=C_{-1}$ a continuación, a partir de su Laurent expansión; $f(z)$ puede ser reescrita como : $$f(z)=\frac{C_{-1}}{z-z_0}+g(z)$$ con $g(z)$ analítica en el barrio, de modo que : $$I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{C_{-1}}{z-z_0}dz+\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}g(z)\,dz$$ La integral de $g(z)$ desaparecerá en el límite ya $g(z)$ es analítica en el barrio y por lo tanto $|g(z)|<M=$constante con un camino de longitud $\to 0$.

Mientras podemos sustituir el $\,z=z(\theta)=z_0+\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}\,$ en las otras integral para obtener : $$I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}\frac{C_{-1}}{z-z_0}dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\phi\frac{C_{-1}}{\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}}i\,\epsilon\,e^{i(\theta+\theta_0)}\;d\theta$$ Que es $$\boxed{\displaystyle I(\phi)=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz=i\,\phi\;C_{-1}}$$

0voto

catfood Puntos 2932

Aquí está una prueba para la parte dos, la $- \pi i$ plazo:

Cambio de la variable de$u$$e^{t}$. A continuación,$\log u = t$$du = e^{t}dt$.

Teniendo en cuenta la integral alrededor de la mitad de un círculo, ahora sobre y por encima de $t = 0$, en la dirección de las agujas, el residuo de el integrando es $-i\pi\left(e^{t}\right)_{z=0} = - i \pi$.

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