Representación en serie de Taylor de $e^{1-\cos(x)}$

Question

Hola me preguntaba cómo simplificar esta serie Taylor

$$ e^{1-\cos(x)} =\sum_{k=0}^\infty\frac{(1-\cos(x))}{k!} ^k\ $$

a donde puedo escribir el primer par de términos que son $ 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{720}$

Answer 1

Para la serie de potencias completa se puede utilizar Fórmula de Faà di Bruno .

Sin embargo, para obtener el primer par de términos, basta con componerlos como polinomios truncados, como se hace en este ejemplo .

Answer 2

Una forma de verlo es observar que $f(x)=e^{1-\cos x}$ es analítica y tiene una expansión en serie de potencias, y que es una función par. Así que $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}$ . Observando que $f'(x)=\sin(x)f(x)$ concluimos que $$ \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right)\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}\right)=\sum_{n=0}^\infty 2(n+1) a_{n+1}x^{2n+1} $$ Igualando los coeficientes de $x^{2n+1}$ y señalando que $f(0)=1$ concluimos que la secuencia $(a_n)_{n\geq0}$ se define mediante la recursión : $$ a_0=1,\quad\hbox{and for $ n\geq0 $},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}a_{n-k}. $$ Por ejemplo $$f(x)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{720}-\frac{43 x^8}{40320}-\frac{127 x^{10}}{1814400}+\mathcal{O}\left(x^{12}\right).$$