Encontrar todos los $a$ tal que $\{x_n\}$ tiene límite finito

Question

Deje $\{x_n\}$ ser una verdadera secuencia definida por: $$ x_1=a \\ x_{n+1}=3x_n^3-7x_n^2+5x_n $$

Para todos los $n=1,2,3...$ $a$ es un número real. Encontrar todos los $a$ tal que $\{x_n\}$ tiene límite finito cuando $n\to +\infty$ y encontrar el límite finito en que casos.

Mi pensamiento: La respuesta es $a\in [0,\frac{4}{3}]$ encontramos la raíz de $f(x)=x$

Answer 1

Parcela en la misma figura, las dos curvas $$y=x\ ,\qquad y=f(x):=3x^3-7x^2+5x\ .$$ Usted entonces verá que $f(x)=x$$x=0, \ 1,\ {4\over3}$. Además $f'(0)=5$, $f'(1)=0$, y $f'\bigl({4\over3}\bigr)={7\over3}$. Esto demuestra que $1$ es una atracción de punto fijo de $f$, mientras que los otros dos fixpoints rechazan. Pero podemos aprender más de la imagen: Si $x_0=a<0$ o $x_0=a>{4\over3}$, entonces obviamente $\lim_{n\to\infty} x_n=-\infty$, resp. $=+\infty$.

Al$x_0=a\in \ \bigl]0,{4\over3}\bigr[\ $, entonces las cosas son más complicadas. La función de $f$ tiene un máximo local en a $x={5\over9}$, pero $f\bigl({5\over9}\bigr)={275\over243}<{4\over3}$, y un mínimo local en el punto fijo $1$. Esto implica que, en cualquier caso, $$f\Bigl(\bigl]0,{4\over3}\bigr[\Bigr)\subset\bigl]0,{4\over3}\bigr[\ ,$$ de modo que un primer punto de $x_0\in \bigl]0,{4\over3}\bigr[\ $ nunca pueden escapar a uno de $\pm\infty$.

Tenga en cuenta que $f\bigl({1\over3}\bigr)=1$. Al$x_n<{1\over3}$$x_n<f(x_n)=x_{n+1}<1$, por lo que la sucesión es creciente hasta el primer tiempo $x_n\geq{1\over3}$. Al${1\over3}\leq x_n\leq1$$1\leq f(x_n)\leq {275\over243}$. Al$1< x_n<{4\over3}$$1< x_{n+1}= f(x_n)< x_n<{4\over3}$; por lo tanto el $x_n$ ahora se monótonamente decreciente a $1$. En resumen, se deduce que para $x_0=a\in\bigl]0,{4\over3}\bigr[\ $ obtenemos $\lim_{n\to\infty} x_n=1$.