Por lo $q$ es el siguiente polinomio de un cuadrado? $$ \begin{align} &20q^4-40q^3+30q^2-10q\\ =\:&10q(q - 1)(2q^2 - 2q + 1) &q\in\mathbb N \end{align} $$
Yo sé de dos casos aislados, $q=1$ da $0$ $q = 2$ da $100$. He probado a $3\le q\le12$ y no encontró ninguno.
Esto es lo que yo he probado hasta ahora:
He encontrado que $$ \begin{align} \gcd(q,q - 1) &= 1\\ \gcd(q, 2q^2 - 2q + 1) &= 1\\ \gcd(q - 1, 2q^2 - 2q + 1) &= 1 \end{align} $$ El problema es el mismo que la determinación de si existe una $t\in\mathbb N$ tal que $$ q(q - 1)(2t^2 - 2t + 1) = 10t^2 $$ Si $q$ es incluso, escribir $q=2p$ y se dice que $$ p(2p-1)(8p^2-4p+1) = 5t^2 $$ Los residuos modulo $5$ son de la siguiente manera $$ \begin{align} p\equiv0\pmod{5}\implies p(2p-1)(8p^2-4p+1)\equiv0\pmod{5}\\ p\equiv1\pmod{5}\implies p(2p-1)(8p^2-4p+1)\equiv0\pmod{5}\\ p\equiv2\pmod{5}\implies p(2p-1)(8p^2-4p+1)\equiv0\pmod{5}\\ p\equiv3\pmod{5}\implies p(2p-1)(8p^2-4p+1)\equiv0\pmod{5}\\ p\equiv4\pmod{5}\implies p(2p-1)(8p^2-4p+1)\equiv4\pmod{5} \end{align} $$ Lo que significa que $p\not\equiv4\pmod5$, y ahora tenemos que probar si es un cuadrado en el resto de los casos.
Caso r = 5p
En este caso estamos resolviendo $r\cdot(10r - 1)(200r^2 - 20r + 1) = t^2$, y dado que los factores son coprime, todos ellos deben ser cuadrados, sin embargo modulo $7$ al menos un factor no es uno de los residuos cuadráticos para todos los casos.
Caso r = 5p + 1
En este caso estamos resolviendo $(5r+1)(10r+1)(40r^2+12 r+1) = t^2$, y dado que los factores son coprime, todos ellos deben ser cuadrados, sin embargo modulo $3$ al menos un factor no es uno de los residuos cuadráticos para casos $1$$2$, y el último caso $0$ hemos observado solución en $q=2$, sin embargo para $q=12$ no obtenemos un cuadrado, por lo que queda por demostrar si hay otros que $r=0$ que son cuadrados.
En este punto me detuve porque hay muchos casos, y no sé cómo demostrar que no es sólo para $r=0$ al $r=5p+1$ que el polinomio es de planta cuadrada, o si existen otros $r$.
Así que lo estoy preguntando en concreto es: ¿hay una forma más elegante, y si no, ¿cómo puedo demostrar que los casos observados son las únicas soluciones (o si no, ¿cuál es el conjunto de soluciones).
