Cubrir un disco con rectángulos finos

Question

Dejemos que $D$ sea un disco de diámetro 20, y supongamos que nos dan 19 rectángulos, cada uno de los cuales es $1 \times 20$ . Puede $D$ ¿se cubren completamente con los rectángulos? Ten en cuenta que los rectángulos se pueden disponer "de cualquier manera" para la cobertura.

Nota: esta era una pregunta muy popular en mis días de estudiante de posgrado; algunos de nosotros llegamos a una respuesta, pero nos costó mucho trabajo concretar la prueba. Me gustaría saber si alguien tiene un buen enfoque, o incluso una buena referencia, para esta pregunta.

Nota añadida: los rectángulos no deben cortarse. Y la cuestión se puede plantear de otra manera en términos de 19 "tiras" de ancho 1, cada una infinitamente larga (es decir, copias de $[0,1] \times R$ ). En esta forma la pregunta se convierte en: ¿Podemos cubrir el disco de diámetro 20 utilizando 19 de estas tiras de ancho 1? [Si se pudiera cubrir mediante tiras, entonces cada tira podría recortarse a un rectángulo de 1X20 sin descubrir ningún punto cubierto en el disco].

Answer 1

Recuerdo ese problema de la universidad. (Pero no lo resolví, alguien me dio una gran pista)

La respuesta es que es imposible, no se puede cubrir el círculo de diámetro 20 utilizando sólo 19 tiras $1\times 20$ .

Para ver por qué, supongamos que tenemos dicha cubierta e imaginemos una esfera de diámetro 20 cortada por la mitad por nuestro círculo. Encuentra la proyección ortogonal de cada franja sobre la esfera, es un anillo, y es fácil calcular su área $2\pi R x$ , donde $R$ es el radio de la esfera y $x$ la anchura de la banda.

Pero entre todos los anillos cubren toda la esfera por lo que el área total debe ser al menos $4\pi R^2$ Así que $$ N \times 2 \pi R x \ge 4 \pi R^2 $$ donde $N$ es el número de tiras. Dejando $N=19, R=10$ y $x=1$ obtenemos una contradicción.