El conjunto de puntos donde dos mapas de acuerdo está cerrado?

Question

Deje $f,g\colon X \to Y$ ser continua mapas. Deje $Y$ ser Hausdorff. Es el conjunto $$A := \{x\in X \, : \, f(x)=g(x) \}$$ necesariamente cerrado ?

Answer 1

Sí. Supongamos que $f(x)\ne g(x)$. Desde $Y$ es Hausdorff, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $V$ tal que $f(x)\in U$$g(x)\in V$. Deje $W=f^{-1}[U]\cap g^{-1}[V]$; a continuación, $W$ es una vecindad de a $x$. (Por qué?) ¿Qué se puede decir acerca de la $f(p)$ $g(p)$ si $p\in W$?

Answer 2

El conjunto $A$ es la inversa de la imagen en $h:X\to Y^2: x\mapsto(f(x),g(y))$ de la diagonal $\{(y,y)\mid y\in Y\}$$Y^2$, que está cerrado desde $Y$ es de Hausdorff.

Answer 3

Si usted está familiarizado con las redes se puede argumentar de la siguiente manera:

Deje $(x_d)_{d\in D}$ ser una red tal que cada una de las $x_d$ pertenece a $A$$x_d\to x$. Queremos mostrar que $x\in A$. (Closedness es equivalente a closedness debajo de los límites de las redes.)

Por la continuidad llegamos $f(x_d)\to f(x)$$g(x_d)\to g(x)$. Tenemos $f(x_d)=g(x_d)$, por lo que la misma red converge a ambos $f(x)$$g(x)$.

Desde $Y$ es Hausdorff esto implica $f(x)=g(x)$. (En un espacio de Hausdorff, los límites de las redes son únicas.) La igualdad de $f(x)=g(x)$ significa que $x\in A$.