EDIT: una distinción importante entre los espacios y las estructuras de los contextos es: mientras que la estructura se mantiene una estructura después de forzar, un espacio necesario no quedarse en un espacio. Esto es debido a que la fuerza puede introducir nuevas familias de bloques abiertos, cuya unión no fue contabilizada en el modelo de terreno.
Por supuesto, la edad de la topología se forma una base para una nueva topología. Por esa razón es probable que sea mejor hablar de espacios en términos de su subbases; sólo voy a ignorar este punto por debajo, ya que no afecta en nada.
Incluso un simple ejemplo de potencial, pero no real homeomorphism: si $X, Y$ son conjuntos infinitos con diferentes cardinalidades, a continuación, sus discretas (o indiscreta) topologías son potencialmente homeomórficos, pero en realidad no homeomórficos. Este es exactamente paralela a la no-topológica de la situación.
La parte interesante, por supuesto, es la caracterización de los potenciales homeomorphism. Usted menciona a $\mathcal{L}_{\infty\omega}$-equivalencia de estructuras como suficiente para isomorfismo; de hecho, es necesario, así que tenemos una buena caracterización de los posibles isomorfismo. Otra caracterización está dada por la longitud infinita de ida-y-juego. Por eso es razonable esperanza de una buena caracterización de la(s) potencial homeomorphism.
Resulta que podemos encontrar caracterizaciones, que son paralelas a las estructuras de caso:
El primero es un juego de caracterización. En última instancia, asumida en la siguiente sección, pero creo que es interesante pensar por su propia cuenta. Dado espacios de $\mathcal{X}=(X, \tau)$ $\mathcal{Y}=(Y, \sigma)$ dejamos $G_{ph}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ ser el siguiente juego:
En su turno, un jugador va a jugar, ya sea un elemento de $X$, un elemento de $\tau$, un elemento de $Y$, o un elemento de $\sigma$.
¿Qué tipo de cosas reproductor $2$ juega se determina por el tipo de cosa que un jugador de $1$ juega:
Si el jugador $1$ desempeña un elemento de $X$ (resp. $Y$ ), a continuación, reproductor de $2$'s próxima jugada será un elemento de $Y$ (resp. $X$).
Si el jugador $1$ desempeña un elemento de $\tau$ (resp. $\sigma$ ), a continuación, reproductor de $2$'s próxima jugada será un elemento de $\sigma$ (resp. $\tau$).
Reproductor $2$ debe jugar "bijectively" en los puntos. E. g. supongamos que el Jugador $2$ juega $y\in Y$ en respuesta a Jugador $1$'s jugando $x\in X$; a continuación, si el Jugador $1$ obras $x$ nuevo Reproductor $2$ tiene que responder con $y$, y si el Jugador $1$ obras $y$, entonces el Jugador $2$ tiene que responder con $x$.
Reproductor $2$'s "conjunto de movimientos" restringir su "punto se mueve": por ejemplo, si el Jugador $2$ juega $V\in\sigma$ en respuesta a jugador $1$'s juego de $U\in\tau$, luego se han comprometido a responder con un punto en $V$ cada vez que el Jugador $1$desempeña un punto en $U$.
(Voy a dejar como un ejercicio plenamente a escribir los detalles de este juego, pero la idea debe ser clara.)
Decir que el Jugador $1$ gana un juego de juego si el Jugador $2$ finalmente hace un movimiento ilegal, y el Jugador $2$ gana de otra manera. Ahora es fácil demostrar que para contables espacios (EDIT: que es, contables conjunto de puntos y contables conjunto de abre), el Jugador $2$ la ganancia es equivalente a homeomorphism, y en esta misma línea de pensamiento se traduce en:
$\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ son potencialmente homeomórficos iff Reproductor $2$ tiene una estrategia ganadora en $G_{ph}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$.
(Tenga en cuenta que $G_{ph}$-los juegos están abiertos los juegos, por lo tanto, siempre se determina en ZFC, por lo que no hay determinación de la cuestión aquí. Estamos utilizando elección, aunque, si queremos trabajar en ZF solo tenemos que hablar de quasistrategies.)
La segunda caracterización de los posibles homeomorphism - o más bien, la clase de caracterizaciones - puede ser dado por traducir directamente en el lenguaje de las estructuras. Cualquier espacio topológico $\mathcal{X}=(X,\tau)$ tiene asociado un primer orden de la estructura de $S_\mathcal{X}$:
$S_\mathcal{X}$ tiene dos clases, una "puntos" ordenar y una "abre" ordenar; los elementos de los puntos de ordenación son exactamente los elementos de $X$, y los elementos de la se abre especie son exactamente los elementos de $\tau$.
El lenguaje de la $S_\mathcal{X}$, además de una relación binaria, incluyen la relación binaria símbolo "$\in$" que se interpreta de la manera obvia.
Es fácil comprobar que $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ son homeomórficos iff $S_\mathcal{X}$ $S_\mathcal{Y}$ son isomorfos; así que ahora puede "puerto a través de" la caracterización del potencial de isomorfismo de las estructuras. En particular, tenga en cuenta que el juego caracterización de arriba es el "retroceso" de el juego habitual caracterización de los posibles isomorfismo lo largo de la construcción $\mathcal{X}\mapsto S_\mathcal{X}$.
Este tipo de traducción es una instancia de un útil fenómeno general: mientras que la de primer orden teorías son bastante débiles, de primer orden, las estructuras son bastante expresivos. Tenga en cuenta que de curso de la clase de estructuras de la forma $S_\mathcal{X}$ para un espacio topológico $\mathcal{X}$ definitivamente no es de primer orden definibles! Esta vieja cuestión de la mina contiene un uso similar de esta idea.
EDIT: vale la pena mencionar que en las estructuras de caso, un montón de cosas interesantes que sucede cuando se restringe el forzamiento de la noción que usted está utilizando. La tasa colapso $Col(\omega, A\cup B)$ es universal para determinar si $A$ $B$ son potencialmente isomorfo: hacer todo lo relevante contables resuelve todos los problemas posibles (tengo que consigna en un t-shirt). Sin embargo, podemos tener la más fuerte de las nociones de potencial isomorfismo como "ser isomorfo en un c.c.c. forzando la prórroga", y aquí la situación es más compleja.
Esto fue estudiado en particular a partir de un modelo de la teoría de la perspectiva por Baldwin, Laskowski, y Sela, en sus papeles de"Forzar isomorfismo" y (sans Baldwin) ", Obligando a isomorfismo II".
No tengo idea de cómo variaciones similares en el contexto de los espacios topológicos, pero parece potencialmente muy interesante. El $\mathcal{X}\mapsto S_\mathcal{X}$ construcción sugiere que no va a producir una imagen que es demasiado nuevo a partir de las estructuras de contexto, pero aún puede haber cosas interesantes.
