Este es otro probablemente fuertemente buscado problema de Rudin (Prueba de que $\inf A = -\sup(-A)$) Pero, mi prueba es diferente, y me gustaría que algunos de verificación y crítica de la prueba de escritura y estilo.
Deje $A$ ser un subconjunto no vacío de a $\mathbb{R}$. Demostrar que $\inf A = - \sup(-A)$
Deje $\alpha = \inf A$ $\beta = - \sup B$ donde $B = \{-x | x\in A\}$
WLOG asumen $\alpha \neq \beta$$\alpha > \beta$.
$\exists q \in\mathbb{Q}$ tal que $\alpha > q > \beta$.
Por lo $-q < -\beta = \sup B$ por lo Tanto $ \exists b \in B$ donde$b > -q$, por definición, de $\sup$.
Desde $\exists a \in A$ donde $-a = b$ implica $a < q$. Pero que conduce a la $a < q < \alpha$.
Esto es una contradicción ya que el $\alpha$$\inf$.
Por lo tanto $\inf A = - \sup(-A)$
