Cómo obtener las condiciones iniciales para la imagen de Kerr agujero negro?

Question

Estoy leyendo Lente Gravitacional por el giro de los Agujeros Negros en Astrofísica, y en la Película Interestelar para hacer un raytracer código de la imagen Kerr agujeros negros. El documento presenta un Fiducial Observador perpendicular a la hora de foliaciones de el agujero negro de Kerr con Boyer-Lindquist coordenadas y una Cámara con su propio sistema de referencia. La relación entre este sistema de referencia se muestra en esta imagen de la ponencia:

El documento proporciona en el Apendice A. 1 una manera de transformar las condiciones iniciales en la cámara del sistema de referencia para la Fiduciaria Observador sistema de referencia. Esto se hace como sigue:

1. Especificar la localización de la cámara $(r_c, \theta_c, \phi_c)$, y su velocidad $\beta$ y los componentes de $B_r,B_θ,B_φ$ de su dirección de movimiento en relación a los FIDO en su ubicación; y especificar el rayo entrante de dirección $(\theta_{cs}, \phi_{cs})$ en la cámara local del cielo.
2. Calcular, en la cámara del adecuado marco de referencia, el sistema de componentes (figura superior) de la unidad de vectores $N$ que apunta en la dirección de la entrada de rayos $$N_x = sin \theta_{cs} cos \phi_{cs} , N_y = sin \theta_{cs} sin \phi_{cs} , N_z = cos \theta_{cs} $$.
3. El uso de las ecuaciones para la aberración relativista, calcular la dirección del movimiento de el entrante ray, $n_F$ , medido por el FIDO en coordenadas Cartesianas alineados con los de la cámara: $$ n_{Fy}=\frac{-N_y+\beta}{1- \beta N_y}, n_{Fx}=\frac{-\sqrt{1-\beta^2}N_x}{1- \beta N_y}, n_{Fz}=\frac{-\sqrt{1-\beta^2}N_z}{1-\beta N_y}$$ 4.De estos, calcular los componentes de nF en el FIDO la forma esférica de ortonormales base: $$n_{Fr}=\frac{B_\phi}{\kappa} n_{Fx}+B_r n_{Fy}+\frac{B_r B_\theta}{\kappa} n_{Fz}$$ $$n_{F\theta}= B_\theta n_{Fy}-\kappa n_{Fz}$$ $$n_{F\phi}=-\frac{- B_r}{\kappa} + B_\phi n_{Fy}+\frac{B_\theta B_\phi}{\kappa} n_{Fz}$$

donde $\kappa=\sqrt{1-B_\theta^2}=\sqrt{B_r^2+B_\phi^2}$.

La pregunta es cómo obtener las ecuaciones en el punto 4 (estas últimas ecuaciones). No sé cómo se relacionan con la ORGANIZACIÓN del sistema de referencia con la cámara. Sé que la relación está en la imagen, pero no sé cómo propperly de la obtención de estas ecuaciones.

Puede usted proporcionar un cálculo detallado de cómo llegar a estas últimas ecuaciones?

Al la falta de información en esta pregunta se puede encontrar en el papel.

Gracias!

Answer 1

En última instancia, se acaba de convertir entre un sistema de coordenadas esféricas y Cartesiano. Voy a tratar de atenerse a la notación de la de papel, con un cambio crítico: componentes de los vectores se denotan con superíndices, mientras que los subíndices será reservado para los que la identificación de los vectores de un conjunto es la que hace referencia.

Tenemos un vector $\mathbf{n}$ (aka $\mathbf{n}_F$), y sabemos de sus componentes en coordenadas Cartesianas $n^x,n^y,n^z$. Queremos que sus coordenadas esféricas $n^\hat{r},n^\hat{\theta},n^\hat{\phi}$. Los vectores de la base para el sistema Cartesiano se $\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z$, y para la esférica sistema se $\mathbf{e}_\hat{r},\mathbf{e}_\hat{\theta},\mathbf{e}_\hat{\phi}$, donde los sombreros nos recuerdan que este es un ortonormal , en lugar de la igualmente común de coordenadas ortogonales.¹ necesitamos expresar una base en términos de la otra, donde podemos asumir que tenemos los componentes $B^\hat{r},B^\hat{\theta},B^\hat{\phi}$ de la unidad de vectores $\mathbf{B}$, lo que indica la dirección de la cámara de movimiento.² La definición precisa de la base es dado en el §2.1, punto (iii) del papel.

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El procedimiento se puede hacer en estos pasos:

1. Definir $\mathbf{e}_y = \mathbf{B}$. Entonces podemos trivialmente escribir $\mathbf{e}_y$ en nuestra base esférica: $$ \mathbf{e}_y = B^\hat{r} \mathbf{e}_\hat{r} + B^\hat{\theta} \mathbf{e}_\hat{\theta} + B^\hat{\phi} \mathbf{e}_\hat{\phi}. \tag{1} $$

2. Buscamos la forma esférica de los componentes de $\mathbf{e}_x$. Desde que tomamos $\mathbf{e}_x \in \operatorname{span}(\mathbf{e}_\hat{r},\mathbf{e}_\hat{\phi})$, sabemos que podemos escribir $\mathbf{e}_x = e_x^\hat{r} \mathbf{e}_\hat{r} + e_x^\hat{\phi} \mathbf{e}_\hat{\phi}$. Tenemos la ortogonalidad y la normalización de las restricciones \begin{align} 0 & = \mathbf{e}_y \cdot \mathbf{e}_x = B^\hat{r} e_x^\hat{r} + B^\hat{\phi} e_x^\hat{\phi} \\ 1 & = \mathbf{e}_x \cdot \mathbf{e}_x = (e_x^\hat{r})^2 + (e_x^\hat{\phi})^2. \end{align} Resolviendo este sistema de ecuaciones nos dice $$ \mathbf{e}_x = \frac{B^\hat{\phi}}{\kappa} \mathbf{e}_\hat{r} - \frac{B^\hat{r}}{\kappa} \mathbf{e}_\hat{\phi}, \tag{2} $$ donde un signo arbitrario elección fue hecha.

3. Dos ortogonalidad restricciones, una normalización de la restricción, y otra señal de la elección (que determina el uso de las manos relación entre los sistemas de coordenadas) determinar los tres componentes esféricas de $\mathbf{e}_z$. Las ecuaciones son \begin{align} 0 & = \mathbf{e}_y \cdot \mathbf{e}_z = B^\hat{r} e_z^\hat{r} + B^\hat{\theta} e_z^\hat{\theta} + B^\hat{\phi} e_z^\hat{\phi} \\ 0 & = \mathbf{e}_x \cdot \mathbf{e}_z = \frac{B^\hat{\phi}}{\kappa} e_z^\hat{r} - \frac{B^\hat{r}}{\kappa} e_z^\hat{\phi} \\ 1 & = \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{e}_z = (e_z^\hat{r})^2 + (e_z^\hat{\theta})^2 + (e_z^\hat{\phi})^2 \end{align} La solución de este sistema de rendimientos $$ \mathbf{e}_z = \frac{B^\hat{r}B^\hat{\theta}}{\kappa} \mathbf{e}_\hat{r} - \kappa \mathbf{e}_\hat{\theta} + \frac{B^\hat{\theta}B^\hat{\phi}}{\kappa} \mathbf{e}_\hat{\phi}. \tag{3} $$

4. Finalmente, acabamos de montar los coeficientes de (1), (2) y (3). Por ejemplo, $$ n^\hat{r} = e_x^\hat{r} n^x + e_y^\hat{r} n^y + e_z^\hat{r} n^z = \frac{B^\hat{\phi}}{\kappa} n^x + B^\hat{r} n^y + \frac{B^\hat{r}B^\hat{\theta}}{\kappa} n^z. $$

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¹Por coordinar base me refiero a uno en el que $\mathbf{e}_r$ escalas proporcionales a $r$, así por ejemplo tenemos a $\lVert\mathbf{e}_r\rVert = r$ en lugar de $\lVert\mathbf{e}_\hat{r}\rVert = 1$. Esa base sería conveniente si estuviéramos mirando vectores con origen en diferentes puntos (como de hecho se hace, cuando en realidad la integración de la nula geodesics), pero dado que sólo estamos considerando direccional de la unidad de vectores en un solo punto (la localización de la cámara), no tenemos mucho que perder por hacer de nuestra base ortonormales.

²Que esta es la dirección del movimiento no es relevante para esta derivación.