Mostrar la corrección de un logarítmica de la desigualdad

Question

Deje $p_1>p_2$ $n_1>n_2$ ser números positivos. Quiero mostrar que,

$$ \frac{\log \left(\frac{p_1}{n_1}+1\right)}{\log \left(\frac{p_2}{n_2}+1\right)}\leq \frac{\log \left(\frac{p_1}{c+n_1}+1\right)}{\log \left(\frac{p_2}{c+n_2}+1\right)} $$

donde $c$ es un número positivo. La solución más simple que puedo imaginar es definir,

$$ f(u)=\frac{\log \left(\frac{p_1}{n_1+u}+1\right)}{\log \left(\frac{p_2}{n_2+u}+1\right)} $$

y mostrar $f(u)$ es una función creciente de más de $u \ge 0$. Tenemos,

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{u}}=\frac{\frac{p_2 \log \left(\frac{p_1}{n_1+u}+1\right)}{\left(n_2+u\right) \left(n_2+p_2+u\right)}-\frac{p_1 \log \left(\frac{p_2}{n_2+u}+1\right)}{\left(n_1+u\right) \left(n_1+p_1+u\right)}}{\log ^2\left(\frac{p_2}{n_2+u}+1\right)} $$

Desde entonces, el denominador es obviamente positivo, debemos mostrar el numerador es positivo también. Pero yo no puedo hacer eso. Cualquier ayuda sobre el tema se agradece. Cualquier otro (más sencillo) para probar la primera desigualdad también es motivo de satisfacción.

EDIT: además De los supuestos anteriores, tenemos $u \le p_2$. Así que tenemos que muestran la desigualdad en $0 < u \le p_2$.

Answer 1

Puedo continuar donde lo dejó en su análisis. Por lo que el objeto es probar $$ \frac{p_2}{(n_2 + u) (n_2 + p_2 + u)} \log \left( \frac{p_1}{n_1 + u} + 1 \right) \geq \frac{p_1}{(n_1 + u) (n_1 + p_1 + u)} \log \left( \frac{p_2}{n_2 + u} + 1 \right) $$ que puede ser escrito como $$ \frac{(n_1 + u)(n_1 + p_1 + u)}{p_1} \log \left( \frac{p_1}{n_1 + u} + 1 \right) \geq \frac{(n_2 + u)(n_2 + p_2 + u)}{p_2} \log \left( \frac{p_2}{n_2 + u} + 1 \right). $$ Esto significa, que la función $$ g(p, v) = \frac{v (p+v)}{p} \log \left( \frac{p}{v} + 1 \right) $$ debe ser el aumento en $p$$v$.

Las derivadas parciales de $g$ están dadas por $$ \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{(2 v+ p) \log \left(\frac{p}{v} + 1 \right) - p}{p} $$ y $$ \frac{\partial g}{\partial p} = \frac{v \left(p - v \log \left( \frac{p}{v} + 1 \right) \right)}{p^2} $$

Ahora, $\frac{\partial g}{\partial v} \geq 0$ sigue de $\log (1+t) \geq \frac{t}{2+t}$, e $\frac{\partial g}{\partial p} \geq 0$ sigue de $\log (1+t) \leq t$.