Existe tal cosa como discretos geometría de Riemann?

Question

La relatividad General expresa la gravedad como una curvatura del espacio tiempo, creado por el estrés de la energía del tensor.

$$T_{\mu\nu} \approx R_{\mu\nu} - \frac{R}{2} g_{\mu\nu}$$

Dado puse el hecho de que la energía es quantizied y sólo se puede cambiar dentro de niveles discretos en la tensión tensor de energía, entonces el tensor de Ricci y, como resultado, los símbolos de Christoffel, así como la métrica tendría que cambiar en algunas de las diferencias finitas forma.

Para gran espacio, esta diferencia finita aproximación sería la ecuación anterior, pero para áreas pequeñas, se comportaría de manera diferente. Hay algún tipo de discretos geometría de Riemann que se cumple este criterio? Las fuentes?

Answer 1

Lo primero es darse cuenta de que nadie tiene un trabajo de teoría de la gravedad cuántica, por lo que nadie puede realmente responder a su pregunta.

Como timur ha señalado, la cuantización no implica necesariamente la discretización. También no funciona al revés: discretización no implica que la cuantización. Ciertamente puede utilizar aproximaciones de diferencias finitas para resolver las ecuaciones de campo de Einstein, y la gente realmente hacer esto, pero todo esto va a dar es una aproximación a los clásicos (es decir, no mecánica cuántica) GR. Este es el tipo de cosa que los relativistas hacer, por ejemplo, cuando se simulan violentos clásica procesos como las fusiones de agujeros negros y la posterior emisión de ondas gravitatorias.

Habiendo dicho todo eso, hay un par de los principales candidatos para una teoría de la gravedad cuántica, que pueden o pueden no ser equivalentes si usted trabaja fuera de su detalladamente las consecuencias (de la que nadie ha sido capaz de hacer). Estas son la teoría de las cuerdas y loop quantum gravity (LQG). LQG hace, en cierto sentido, cuantizar el espacio-tiempo, pero usted no debe tomar que demasiado literal, con una actitud abierta. No es de las distancias que son cuantificadas pero, áreas y volúmenes. Una ingenua manera de ver la que probablemente usted no puede cuantizar a distancia mediante el uso de algún tipo de red es que bajo una transformación de Lorentz, el espaciado de la cuadrícula se someten a una contracción de longitud y dilatación del tiempo. (Área y volumen son preservados por una transformación de Lorentz.) Una teoría similar a la LQG es causal dinámica de la triangulación (CDT).

La revista Scientific American publicó un par de populares a nivel de artículos acerca de la LQG y CDT:

Smolin, "los Átomos de Espacio y Tiempo", Scientific American, enero de 2004

Jerzy Jurkiewicz, Renate Loll y Jan Ambjorn, "el Uso de la Causalidad para Resolver el Rompecabezas Cuánticas del espacio-Tiempo", Scientific American, julio de 2008, https://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=the-self-organizing-quantum-universe

Smolin ha escrito también un buen nivel popular libro llamado los Tres Caminos a la Gravedad Cuántica, que es, por desgracia llegar a estar fuera de fecha en este punto.

Answer 2

He aquí una difusa argumento que he escuchado desde mi licenciatura días en la física: Si el universo es limitado, a continuación, la mecánica cuántica parece indicar que el impulso operador no asume un espectro continuo de valores propios. Parece una extensión razonable suponer que el espacio-tiempo en sí sería algún tipo de objeto independiente. El continuum que nos marco de la física clásica, sólo sería una aproximación macroscópica de algunos cuántica de plank-longitud de la geometría.

Una forma de implementar esta idea es reemplazar la propiedad conmutativa de las coordenadas de los clásicos del colector de la teoría con la no conmutativa coordenadas donde la salida de commutivity se introdujo en la física de la literatura por la introducción de la estrella de los productos. Buscar el Moyal soporte, o el papel de la Deformación de la cuantización de Poisson colectores por M. Kontsevic http://arxiv.org/abs/q-alg/9709040. La literatura que sigue a esto, es voluminoso, véase la obra de Julius Wess y sus colaboradores, en particular. Las características de GR que han sido recuperados en este formalismo son sorprendentes. Yo voy a dejar a alguien más hábil que yo, a hacer más comentarios sobre las conexiones con la geometría algebraica y Alain Connes programa de geometría no conmutativa.