¿Tiene cada espacio del vector $\mathbb{R},\mathbb{C}$ una norma?

Question

¿Hay una forma canónica para definir en cualquier espacio del vector encima $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ una norma? (O, si no hay, alguien me puede dar un ejemplo de un espacio del vector encima $\mathbb{K}$ que no normable?)

Ahora he buscado a través de varios libros sobre el tema pero no es algo como esto mencionado y también fui capaz de encontrar una manera de construir tal norma (o encontrar un contraejemplo).

Answer 1

Escoge una base $B$ (en el sentido algebraico, también conocido como una base de Hamel), así que cualquier vector puede ser escrito únicamente como $\sum_{b\in B}\lambda_b b$, con solamente finito muchos de lo $\lambda_b$ ser distinto de cero. Definir por ejemplo $$\left \|\sum_{b\in B}\lambda_b b\right \| := \max _{b\in B} |\lambda_b|$ $ (otra posibilidad sería $\sum_{b\in B} |\lambda_b|$ en vez de tomar el máximo).

Answer 2

Trate de libros sobre el tema de "espacios vectoriales topológicos": es un teorema que cada finito dimensional real o complejo espacio vectorial tiene una norma, y que todas las normas son equivalentes.

En consecuencia, no son infinitas dimensiones topológicas espacios vectoriales que no tienen una norma que induce a la topología.

Canónica de la literatura:

• François Treves: "Topológicos, Espacios Vectoriales, las Distribuciones y Kernels"

• H. H. Schaefer, M. P. Wolff : "Espacios Vectoriales Topológicos"

Answer 3

El primer axioma de norma espacio es N1: $\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert =0\implies \mathbf{x}=\mathbf{0}$. Ahora, si tomamos esta lejos y que los otros dos, a saber. homogeinidad y la desigualdad de triángulo, entonces nos quedamos con lo que se llama un seminorm. Cualquier espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ se puede convertir en un seminorm espacio de la siguiente manera: tome funcional $f$. Esto da lugar a un seminorm tal que $\left\Vert \mathbf{x% }\right\Vert =\left\vert f\left( \mathbf{x}\right) \right\vert $ where $% \left\vert .\a la derecha\vert $ is the absolute value of an element $f\left( \mathbf{x}\right) $ of the underlying field. You may want to look up for how to define absolute values over an integral domain/field in aglebra. Now, the answer to your question, a seminorm space can $$ N ser convierte a una norma espacio de $N/W$, teniendo una colección de $W$ de todos los vectores $% \mathbf{v}$ such that $\left\Vert \mathbf{v}\right\Vert =0$.\ Este es un subespacio ya que trivialmente satisface los axiomas de un espacio vectorial y, además, esta función es una seminorm, dadas las propiedades del valor absoluto. La nueva norma lo define es $\left\Vert \mathbf{x}+W\ \ derecho\Vert _{N/W}=\left\Vert \mathbf{x}% \right\Vert _{N}$ for all $x+W\N/W$. Así, cada espacio vectorial puede ser convertido en una norma en el espacio. Para finitos campos, sin embargo, el único absoluto valor definibles es la trivial valor absoluto, haciendo que el recién hechas norma espacio interesante.