uniforme de convergencia en el espacio métrico compacto

Question

Deje $K$ ser un espacio métrico compacto. Deje $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de funciones continuas en $K$ tal que $f_n$ converge a una función de $f$ pointwise en $K$.

en Walt. Rudin del libro Principios de análisis matemático, 7.13, si asumimos

(1). $f$ es continua;

(2). $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ para todos los $x\in K$ y todos los $n$;

a continuación, se demuestra que la $f_n$ converge a $f$ uniformemente en $K$.

Hay contraejemplo satisfactorio (1), pero no (2)? Y satisfactorio (2), pero no (1)?

Answer 1

$f_n(x)=x^n$ $[0,1]$ . Satisface (2), pero no (1).

$f_n(x)=nx(1-x)^n$ $[0,1]$ - satisface 1, pero no de 2, y la convergencia no es uniforme.

Answer 2

Sí a ambas.

Si asumimos (2), pero no (1), entonces vamos a $$f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x = 0 \\ 1-nx & \text{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{1}{n} \le x \end{casos}$$ $f_n$ es continua, $f_n(x) \ge f_{n+1}(x)$, e $f_n$ y converge pointwise a la discontinuo función característica $\chi_{\{0\}}$. Sin embargo, la convergencia no es uniforme porque si $\epsilon < 1$, a continuación, para todos los $n$ no es un valor de $x > 0$$f_n(x) > \epsilon$. Alternativamente, usted sabe que la convergencia no puede ser uniforme debido a que el límite uniforme de funciones continuas es continua.

Si asumimos (1), pero no (2), entonces para $n \ge 2$ vamos $$f_n(x) = \begin{cases} nx & \text{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 2 - nx & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{2}{n} \le x \end{casos}$$ Las funciones son continuas y convergen a la continua $0$, pero la convergencia no es uniforme.