Límite de los vectores propios frente a los vectores propios del límite

Question

Considere la matriz $$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & g \end{pmatrix}, $$ donde $g$ es un parámetro real. Si establezco $g=0$ y calcular los vectores propios normalizados de $A|_{g=0}$ con Mathematica, me parece que son $$ v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. $$

Si en su lugar calculo los vectores propios de $A$ dejando $g$ como una incógnita y luego tomar su límite como $g\to 0$ Me parece que $$ u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ u_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},\ u_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. $$

Mi pregunta es, ¿por qué estos dos conjuntos de vectores propios son diferentes?

Answer 1

Ambos resultados son correctos. $u_1$ y $u_2$ corresponden al mismo valor propio $-1$ y $\left( \matrix{-1\cr 0\cr 1\cr} \right) = \frac{1}{2} \left(\matrix{-1 \cr 1 \cr 0\cr} \right) + \frac{1}{2} \left(\matrix{-1 \cr -1 \cr 2\cr} \right)$ Así que $u_1$ y ambas versiones de $u_2$ abarcan el mismo espacio vectorial. Cualquier vector no nulo en este espacio es un vector propio para el valor propio $-1$ .

Answer 2

Ambos $(-1,1,0)^T$ y $(-1,0,1)^T$ son vectores propios de $-1$ así es $(-1,-1,2)^T$ , como $$(-1,-1,2) = -(-1,1,0) + 2(-1,0,1).$$ Sólo estás tomando una base diferente para el eigespacio correspondiente a $-1$ .

Es probable que sea un artefacto de la forma en que Mathematica encuentra una base para el eigespacio; los valores propios de la matriz son $-1$ , $$\frac{1+g+\sqrt{g^2-2g+9}}{2},$$ y $$\frac{1+g-\sqrt{g^2-2g+9}}{2}$$ para que haya, hasta el signo, sólo un vector propio normal para cada valor propio cuando $g\neq 0$ (nótese que la cuadrática de la raíz cuadrada es siempre positiva, por lo que esos dos valores propios nunca coinciden, y ninguno es igual a $-1$ a menos que $g=0$ ). Pero en el límite se termina con una matriz que tiene un valor propio repetido (correspondiente a $\lambda=-1$ ) y en ese caso tienes muchas formas diferentes de obtener una base.