Un análogo de Euler de la suma de poderes conjetura

Question

¿Y si en lugar de considerar $$a_1^3+a_2^3+a_3^3=b_1^3 \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4+a_4^4=b_1^4 \\ \vdots $$ que en lugar de considerar $$a_1^3+a_2^3+a_3^3=b_1^3+b_2^3 \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4+a_4^4=b_1^4+b_2^4+b_3^4 \\ a_1^5+a_2^5+a_3^5+a_4^5+a_5^5=b_1^5+b_2^5+b_3^5+b_4^5 \\ \vdots $$ Mi sensación es que esto tiene una infinidad de soluciones.

Nota: $a_i,b_i$ son todos positivos enteros.

Answer 1

He aquí una posible estrategia para mostrar que hay infinitamente muchas soluciones de la ecuación. Por ejemplo, vamos a considerar la primera. Supongamos que existe $x, y, z\in \mathbb{Z}$ con $z\neq \pm 1$ y satisface $x^{3} + y^{3} = z^{3} + 2$. Entonces esto le da una parametrización de la solución $$ (z^{m})^{3} + (z^{m})^{3} + (z^{m+1})^{3} = z^{3m}(z^{3} + 2) = z^{3m}(x^{3} + y^{3}) = (xz^{m})^{3} + (yz^{m})^{3} $$ para $m\geq 0$. También, tenemos una solución para la ecuación anterior como $7^{3} + (-5)^{3} = 6^{3} + 2$, por lo que nos demostró que la ecuación de $a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + a_{3}^{3} = b_{1}^{3} + b_{2}^{3}$ tiene infinitamente muchos entero de soluciones. Si sólo desea soluciones positivas, también es posible porque tenemos $$ 1214928^{3} + 3480205^{3} = 3528875^{3} + 2. $$ Del mismo modo, es suficiente para demostrar que existe un entero $1\leq t \leq k-1$ tales que la ecuación $$ x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \cdots + x_{k-1}^{k} = ty^{k} + (k-t) = t(y^{k} - 1) + k $$ tiene un número entero (entero positivo o) solución con $y\neq \pm 1$, lo que dará una parametrización de la $$ (y^{m})^{k} + \cdots + (y^{m})^{k} + (y^{m+1})^{k} + \cdots + (y^{m+1})^{k} = (x_{1}y^{m})^{k} + \cdots + (x_{k-1}y^{m})^{k} $$ donde hay $(k-t)$ muchas $y^{m}$'s y $t$ muchas $y^{m+1}$'s en el lado izquierdo.