Un mapa lineal $T: \mathbb{R^3 \to \mathbb{R^3}}$ tiene un subespacio invariante de dos dimensiones.

Question

Sea $T: \mathbb{R^3 \to \mathbb{R^3}}$ una aplicación lineal de $\mathbb{R}$. Quiero demostrar que $T$ tiene un subespacio invariante de dimensión $2$ en $\mathbb{R^3}.$

Consideré todos los posibles polinomios minimales de $T$ y aplicando formas canónicas encontré algunos subespacios invariantes obvios de dimensión $2$.

Me quedé atascado cuando el polinomio minimal tiene la forma $(X-a)^3$ para algún número real $a.$

En esta situación, dado que el polinomio minimal y el polinomio característico coinciden, $T$ tiene un vector cíclico. Pero no puedo completarlo más. Necesito ayuda. Gracias.

Answer 1

Si el polinomio mínimo es de la forma $(X-a)^3$, entonces existe alguna base $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ tal que la matriz de $T$ con respecto a $B$ es$$\begin{bmatrix}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{bmatrix}.$$Por lo tanto, considera el espacio generado por $e_1$ y $e_2$.

Answer 2

Hay una solución más simple (y más limpia): el adjunto tiene un autovalor real con su vector propio asociado $v$. Ahora, el complemento ortogonal de $span(v)$ es un subespacio invariante de $2$ dimensiones de $T$.

Answer 3

Considera el mapa lineal dual $$ f^t : \text{Hom}(\mathbb{R}^3,\mathbb R) \longrightarrow \text{Hom}(\mathbb R^3, \mathbb R), \qquad g\mapsto f^t(g) = g\circ f $$ Este mapa tiene un eigenvector $g\in \text{Hom}(\mathbb R^3, \mathbb R)$ diferente de $0$. El núcleo de $g$ es un subespacio de dos dimensiones de $\mathbb R^3$ y es fácil de mostrar que $f\left(\ker(g)\right) \subseteq \ker(g)$.

Answer 4

El polinomio característico del mapa transpuesto $f^T$ es cúbico con coeficientes reales. Por lo tanto, tiene una raíz real $\alpha$, y hay un autovector real $v=(a,b,c)$ tal que $f(v)=\alpha v$. Entonces el espacio de 2 dimensiones dado por la ecuación

$$ax+by+cz=0$$ es invariante bajo $f$. Esto se debe a que

$$\langle v, f(w)\rangle=\langle f^T(v),w\rangle=\alpha\langle v, w\rangle=0$$

para cualquier vector $w$ en el subespacio.