La norma del operador de $T:l^{2} \rightarrow l^{1}$ donde $Tx=(x_{1},x_{2}/2,x_{3}/3,x_{4}/4,...)$

Question

Como dice el título, necesito calcular la norma del operador de un operador lineal $T:l^{2} \rightarrow l^{1}$ donde

$$Tx= \left (x_{1}, \frac {x_{2}}{2}, \frac {x_{3}}{3}, \frac {x_{4}}{4},... \right )$$

Usando la desigualdad de Holder para cualquier secuencia $(x_{i})_{i \geq 1} \in l^{2}$ podemos mostrar

\begin {alinear} |Tx|_{1}&= \sum_ {i=1}^{ \infty }=|x_{1}|+ \left | \frac {x_{2}}{2} \right |+ \left | \frac {x_{3}}{3} \right |+ \cdots\\ y que no se puede hacer nada más. \left | \frac {1}{2} \right |+|x_{3}| \left | \frac {1}{3} \right |+ \cdots \\ & \leq \left |x_{i} \right |_{2} \left | \frac {1}{i} \right |_{2} \\ &= \frac { \pi }{ \sqrt {6}}(x_{i})|||_2} \end {alinear}

Por lo tanto

$$ \displaystyle |Tx|_{1} \leq\frac { \pi }{ \sqrt {6}}|(x_{i})|_{2} \implies ||T|| \leq\frac { \pi }{ \sqrt {6}}$$

Sin embargo, no puedo encontrar una secuencia en $l_{2}$ que tiene norma $|(x_{i})| \leq 1$ para que pueda usar la propiedad $||T||= \text {sup}_{|(x_{i})|_{2}=1}|Tx|_{1}$ .

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

Sea $x_i=\frac c i, i=1,2\cdots$ donde $c$ es tal que $c\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^{2}=1$ . En otras palabras, $c=\frac {\sqrt 6} {\pi}$ . Entonces $\|T(x_i)\|=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac c {i^{2}}$ que es exactamente $\frac {\pi} {\sqrt 6}$ .