Encuentre el valor mínimo de$a^2+b^2$

Question

Dado que $a$ e $b$ son reales constantes y que la ecuación de $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ tiene al menos una raíz real, encontrar el mínimo valor posible de $a^2+b^2$.

Comencé este camino: Dejar que el polinomio ser factorizados como $(x^2+\alpha x + 1)(x^2+\beta x +1)$. A continuación, la expansión y la comparación de los coeficientes obtenemos $\alpha\beta=0$, es decir, $\alpha=0$ o $\beta=0$. Supongamos $\alpha=0$. Entonces podemos ver que $(x^2+\beta x+1)$ debe tener raíces reales, de la cual obtenemos $\beta^2 \geq 4$. Pero conseguimos $a=b=\beta$ a partir de la comparación anterior. Por lo $a^2+b^2 = 2\beta^2 \geq 8$.

Es correcto? O hay algún error? Cualquier otra solución también es bienvenida.

Answer 1

$$x^4+ax^3+2x^2+bx+1=$$ $$=(x^2+\frac{a}{2}x)^2-\frac{a^2}{4}x^2+2x^2+bx+1=$$ $$=(x^2+\frac{a}{2}x)^2-\frac{a^2}{4}x^2+2x^2-\frac{b^2}{4}x^2+(\frac{b}{2}x+1)^2=$$ $$=(x^2+\frac{a}{2}x)^2+x^2(2-\frac{a^2+b^2}{4})+(\frac{b}{2}x+1)^2$$

Si $2-\frac{a^2+b^2}{4}>0$, entonces tenemos un problema; la suma de tres términos no negativos es igual a cero (en nuestro real de la raíz), lo cual sólo puede ocurrir si $x=0$ para el segundo término es cero. Pero, a continuación, $(\frac{b}{2}x+1)^2>0$. Así que si $a^2+b^2<8$ no hay ninguna raíz real. Por lo tanto $a^2+b^2\ge 8$.

Ahora, si $a^2+b^2=8$, luego el medio plazo es cero. Podemos hacer que los otros dos términos de cero así? Necesitamos $x=-\frac{a}{2}$ e $x=-\frac{2}{b}$, para hacer el primer y último términos de cero. Esto puede lograrse, con $a=b=2$ e $x=-1$.

Por lo tanto, el valor mínimo posible de $a^2+b^2$ es, de hecho, $8$.

Answer 2

Primero escribiría $(x^2+cx+d) (x^2+ex+f) $ y luego encontraría $c, d, e, f$ en términos de $a, b$ .