Pozo cuadrado infinito: pared de espesor infinitesimal

Question

Dado un pozo cuadrado infinito, no importa el grosor de la pared, la partícula queda atrapada dentro de las dos paredes. Si hacemos la pared de tamaño arbitrario pero finito de espesor, la partícula sigue atrapada dentro de la pared, es decir, no es posible encontrar la partícula fuera del pozo de potencial:

Sin embargo, si tomamos un límite del grosor de la pared a cero, el potencial se convierte efectivamente en una distribución delta de Dirac doble. Y para este escenario, la derivada de la función de onda será discontinua en los dos puntos de potencial infinito:

¿Cuál es la diferencia cualitativa entre el grosor finito y el infinitesimal de la pared que da lugar a que la partícula quede atrapada dentro de las paredes o se escape fuera de ellas?

Answer 1

Bueno, hay que ser preciso cuando se habla de una pared infinitamente alta e infinitamente gruesa. El orden de los límites importa. Por ejemplo

1. Si el muro se modela como $$V(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc} \infty &{\rm for}& x~=~0\cr\cr 0 &{\rm for}& x~\neq~0\end{array}\right\}~=~\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}V_{\varepsilon}(x),\tag{1a}$$ donde $$V_{\varepsilon}(x)~=~\frac{1}{\varepsilon}\delta_{x,0},\tag{1b}$$ y donde $\delta_{x,0}$ es el Delta de Kronecker entonces el potencial es cero casi en todas partes : $$V(x)~=~0\text{ a.e.}\tag{1c}$$ Por lo tanto, el Medida de Lebesgue (y la partícula) no puede detectar la pared en primer lugar. En otras palabras, efectivamente no hay pared.

2. Si el muro es modelado por el Distribución delta de Dirac $$V(x)~=~A \delta(x),\qquad 0<A<\infty,\tag{2a}$$ que es un distribución/función generalizada entonces $$V(x)~=~\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}V_{\varepsilon}(x)\tag{2b}$$ es un límite de a finito pared rectangular $$V_{\varepsilon}(x)~=~\frac{A}{\varepsilon} \theta(|x|\!-\!\varepsilon/2),\tag{2c}$$ con altura $\frac{A}{\varepsilon}$ y el grosor $\varepsilon$ es decir, con una superficie fija $A$ . Aquí $\theta$ es el Función escalonada de Heaviside . Entonces es posible la tunelización cuántica a través de la pared.

3. Si la pared gruesa infinitesimal $$V(x)~=~\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}V_{\varepsilon}(x)\tag{3a}$$ es un límite de un infinitamente muro alto $$V_{\varepsilon}(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc} \infty &{\rm for}& |x|~<~\varepsilon/2,\cr\cr 0 &{\rm for}& |x|~>~\varepsilon/2,\end{array}\right. \tag{3b}$$ entonces no hay túnel cuántico.