¿Los gases cuánticos obedecen a la ecuación de los gases ideales? $ PV= nRT$ ?

Question

A temperaturas extremadamente bajas, ¿obedece un gas ideal de bosones o fermiones la ecuación del gas ideal? $PV= nRT$ ?

Answer 1

En general, los bosones y los fermiones se describen mediante las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac, respectivamente. No voy a hacer toda la derivación, pero para encontrar las correcciones cuánticas a la ley del gas ideal, se puede calcular el gran conjunto canónico $\Xi$ que está relacionado con la presión del gas: $$ \frac{PV}{k_bT} = \log \Xi = \pm \frac{V}{\lambda_T^3}\sum_{l=1}^{+\infty}(\pm1)^l \frac{z^l}{l^{5/2}}.$$ El signo superior, o el ( $+$ ) representa los bosones y el signo inferior ( $-$ ) para los fermiones.

Puedes comprobar por ti mismo si esta ecuación te devuelve la ley de los gases ideales cuando sólo tomas el orden más bajo (así que l=1). En la ecuación $z= e^{\beta \mu}$ y $\lambda_T$ es la longitud de onda térmica.

EDITAR: Para comprobar el orden más bajo, también necesitarás la ecuación $$ n \lambda_T^3 =\pm \frac{V}{\lambda_T^3}\sum_{l=1}^{+\infty}(\pm1)^l \frac{z^l}{l^{3/2}} $$ que se puede encontrar utilizando la identidad $$ N = \frac{1}{\beta}\frac{\partial \log \Xi}{\partial \mu}. $$ También es interesante calcular el término de orden siguiente. Si lo calculas, verás que hay una mayor presión para los fermiones a baja temperatura debido al principio de exclusión de Pauli.

Answer 2

A la orden de Zeroth: ¡sí!

Tomemos un gas ideal no relativista, en el que cada partícula tiene una energía de

$$ \epsilon=\frac{p^2}{2m}. $$

La ley de los gases ideales se deduce de

$$ N(T,V,\mu)=\frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Y}{\partial\mu}, $$

por lo que necesitamos una expresión para $\ln Y$ . Para los bosones, podemos escribir:

$\begin{align} Y(T,V,\mu)&=\sum_r\exp\left(-\beta\left(E_r\left(V,N_r\right)-\mu N_r\right)\right)\\ &=\prod_i\sum_{n_{p_i}}\exp(-\beta(\epsilon_{p_i}-\mu)n_{p_i})\\ &=\prod_p\frac{1}{1-\exp(-\beta(\epsilon_p-\mu))}\\ \Rightarrow\ln Y&=-\sum_p\ln(1-\exp(-\beta(\epsilon_p-\mu))) \end{align}$

Un cálculo similar da como resultado $$\ln Y=2\sum_p\ln(1+\exp(-\beta(\epsilon_p-\mu)))$$ para los fermiones.

Para encontrar la ley del gas ideal y sus correcciones mecánicas cuánticas necesitamos hacer una expansión en serie de esas expresiones:

$$ \ln Y = (2s+1)\sum_p\left(\exp(-\beta(\epsilon_p-\mu))\pm\frac{1}{2}\exp(-2\beta(\epsilon_p-\mu))+...\right) $$

con $s=0$ para los bosones y $s=1/2$ para los fermiones.

Los posibles estados de momento son muy densos, por lo que podemos tratar la suma como una integral, lo que da como resultado:

$\begin{align} \ln Y &= (2s+1)\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\int\!\mathrm{d}^3p\,\exp(\beta\mu)\left(\exp\left(-\frac{p^2}{2mk_BT}\right)\pm\frac{1}{2}\exp(\beta\mu)\exp\left(-\frac{p^2}{mk_BT}\right)+...\right)\\ &=(2s+1)\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\exp(\beta\mu)\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{mk_BT}\left(2\sqrt{2}+\exp{\beta\mu}+...\right)\\ &:=(2s+1)\frac{V}{\lambda^3}\left(\exp(\beta\mu)\pm2^{-5/2}\exp(2\beta\mu)+...\right) \end{align}$

en el último paso sólo he sumado algunas constantes, para obtener la longitud de onda térmica $\lambda$ como se ha mencionado en otra respuesta.

Ahora utilizamos $N(T,V,\mu)=\frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Y}{\partial\mu}$ . En la aproximación de orden cero encontramos:

$$ N(T,V,\mu)=\frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Y}{\partial\mu}=\ln Y = \frac{PV}{k_BT}, $$

la ley de los gases ideales. Para órdenes superiores encontramos ciertas correcciones, tales como

$$ \ln Y = N\mp\frac{2s+1}{2^{5/2}}\frac{V}{\lambda^3}\exp(2\beta\mu)+... $$