Cuando se hace integración por sustitución, ¿por qué se puede convertir dx en términos de dy?

Question

El hecho de que los derivados no son fracciones que me confunde. Supongamos que tengo $$\int \frac{1}{1+x^2} dx$$

Yo dejaría $x = tan(\theta)$, e $dx = sec^2(\theta) d\theta$, sustituyendo dx con el término correspondiente.

Supongo que este surge al tomar la derivada de la primera ecuación: $dx/d\theta = sec^2(\theta)$, pero si los derivados no son fracciones, ¿por qué se le permite romper la $dx$ e $d\theta$ en la última ecuación? Y, si se limita a la correcta matemáticas, ¿cómo se puede eventualmente llegar a $dx = sec^2(\theta) d\theta$?

Answer 1

Con cuidado, cambio de cantidades variables para las dos identidades

$$\int_a^b f'(g(x)) g'(x) dx = f(g(b))-f(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)} f'(x) dx.$$

La identidad de la primera utiliza el hecho de que $f'(g(x)) g'(x)=(f(g(x))'$, junto con el teorema fundamental del cálculo. La segunda identidad es justamente el teorema fundamental del cálculo.

En la notación común para el cambio de variable, denotamos $g(x)$ por $u$ e $g'(x)$ por $\frac{du}{dx}$, y luego escribimos $\frac{du}{dx} dx = du$. Si quieres ser más matemáticamente cuidado, usted puede tratar este último paso como estar en la notación, y únicamente piensa en el cambio de variable utilizando estas dos identidades.

Su ejemplo es una especie de incómoda para el transporte de este punto, porque en esta notación está básicamente $g(x)=\arctan(x)$ e $f(x)=x$, que podría fácilmente ser hecho con el teorema fundamental del cálculo, sin llamar la regla de la cadena en juego. Un mejor ejemplo sería

$$\int_a^b \frac{2x}{x^2+1} dx.$$

En este caso, se $g(x)=x^2+1,g'(x)=2x,f'(x)=1/x$. Así que usted puede seleccionar $f(x)=\ln(x)$ y el de la integral definida es $\ln(b^2+1)-\ln(a^2+1)$.