Problema del isomorfismo y contar con el anillo cociente$\mathbb{Z}_{101}[x]/<f(x)>$

Question

Deje $f(x)=x^{101}-x$ e $g(x)=x^{101}-x+1$ en el anillo de $\mathbb{Z}_{101}[x]$.

1) cociente de los anillos de $$\mathbb{Z}_{101}[x]/< f(x) > and ~~\mathbb{Z}_{101}[x]/<g(x)>$$ isomorfos?

2) ¿cuántos de los invertible elementos de $\mathbb{Z}_{101}[x]/ <f(x)> $ es igual a su inversa?

El intento. 1) yo creo que no. Desde $f(x)=x(x-1)\ldots (x-100)$ en $\mathbb{Z}_{101}[x]$, cociente del anillo de $\mathbb{Z}_{101}[x]/ <f(x)>$, habiendo $101^{100}$ elementos, no es una integral de dominio. Por otro lado, el cociente del anillo de $\mathbb{Z}_{101}[x]/<g(x)>$ tiene el mismo número de elementos, es decir, $101^{100}$, pero estoy teniendo dificultades para probar que no es una parte integral de dominio ($g(x)$ no tiene raíces en $\mathbb{Z}_{101}$, pero no estoy seguro de si esto le ayuda).

2) El número de invertible elementos de $\mathbb{Z}_{101}[x]/ <f(x)>$es: \begin{eqnarray}&&101^{101}-\big(100\cdot 101+100\cdot 101^2+\ldots+100\cdot 101^{100}\big)-1\nonumber\\ &=&101^{101}-100\cdot 101\cdot \big(1+101+\ldots+101^{99}\big)-1\nonumber\\ &=&101^{101}-100\cdot 101 \cdot \frac{101^{100}-1}{101-1}-1\nonumber\\ &=&101^{101}-101 \cdot (101^{100}-1)-1=101-1=100.\nonumber \end{eqnarray} Para que un elemento invertible $$h(x)+<f(x)>=a_{100}x^{100}+\ldots+a_0+<f(x)>$$ of $\mathbb{Z}_{101}[x]/ <f(x)>$ para ser igual a su inverso, debemos tener: $$h(x)+<f(x)>=(h(x)+<f(x)>)^{-1} \iff$$ $$f(x)~|~(h(x))^2-1=\big(h(x)-1\big)\big(h(x)+1\big)\iff$$ $$\forall k\in \mathbb{Z}_{101}:~x-k~|~h(x)-1 ~~or ~~h(x)+1.$$ Pero ¿cómo podría esto dar las condiciones necesarias en los coeficientes de $h(x)$, para determinar el número exacto de los elementos deseados?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $101$ es primo, por lo que $\mathbb{Z}_{101}$ es un campo; ni polinomio ha repetido raíz (en su división de campo) debido a que la derivada polinomio es en ambos casos $-1$.

Si tenemos un monic polinomio $h(x)=h_1(x)h_2(x)\dots h_k(x)$ sobre un campo $F$, $h_1,h_2,\dots,h_n$ monic irreductible, y de a pares distintos, el teorema del resto Chino nos dice que $$ F[x]/\langle h(x)\rangle\cong F[x]/\langle h_1(x)\rangle\times F[x]/\langle h_2(x)\rangle\times\dots\times F[x]/\langle h_k(x)\rangle \etiqueta{*} $$ donde cada factor es una extensión de campo de $F$.

Por Fermat poco teorema, $f(x)=x^{101}-x$ factores $\mathbb{Z}_{101}$ como un producto de factores lineales, por lo que $$ \mathbb{Z}_{101}[x]/\langle f(x)\rangle\cong(\mathbb{Z}_{101})^{101}\la etiqueta{**} $$ Desde $g(x)=x^{101}-x+1$ no tiene raíces en $\mathbb{Z}_{101}$, pero no obstante pueden ser factorizado como $g=g_1g_2\dots g_k$, $g_1,\dots,g_k$ monic irreductible e $k<101$, $\mathbb{Z}_{101}[x]/\langle g(x)\rangle$ es un producto de $k$ campos. Desde $k\ne101$, podemos concluir que los dos anillos no son isomorfos (por ejemplo, muestran que el número de elementos igual a su inversa no es el mismo).

Para la parte (b), el número buscado es $2^{101}$ como se desprende del isomorfismo (**).

Nota. Como se ha comentado en los comentarios, $g(x)$ es en realidad irreductible, por lo $k=1$ e $\mathbb{Z}_{101}[x]/\langle g(x)\rangle$ es un campo. Sin embargo esto no es necesario para el presente ejercicio. Lo que se necesita es que el número de factores irreducibles de $g$ es de menos de $101$.