Una integral hiperbólica muy extraña y difícil

Question

¡Este integral me dio serios problemas, intenté solucionarlo por partes pero es una locura! Los cálculos son demasiado largos y difíciles, no creo que debamos resolverla.

$$\int _{ -\frac { 1 }{ 3 } }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \sqrt { 36{ x }^{ 4 }-40{ x }^{ 2 }+4 } \cosh { (3x+\tanh ^{ -1 }{ (3x)-\tanh ^{ -1 }{ (x)) } } } }$$

la respuesta debe ser $$\frac { 12+4{ e }^{ 2 } }{ 9e }$$ ¿Puede algún experto ayudarme?

Answer 1

Esta integral es más complicada de lo que parece y sólo requiere estar cómodo con las definiciones trigonométricas hiperbólicas. Mi instinto inicial es mirar la expresión dentro de la $\cosh$ para ver si puedo simplificarlo. De hecho tenemos por la definición de las funciones trigonométricas hiperbólicas,

$$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) $$

Ahora usando las leyes de los troncos tenemos eso,

$$\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{(1+3x)(1-x)}{(1-3x)(1+x)} \right), \ \ (*)$$

Señalamos en este punto que,

$$\sqrt{36x^4 - 40x^2 + 4} = 2\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)} = 2\sqrt{(1-3x)(1+3x)(1-x)(1+x)}$$

Hay mucho en común entre las dos ecuaciones anteriores, lo que nos motiva a seguir adelante, ahora utilizamos la siguiente identidad que podemos demostrar sólo con las definiciones de las funciones trigonométricas hiperbólicas,

$$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)$$

Utilizamos para simplificar el $\cosh$ en la integral, encontramos que,

$$\cosh(3x + (\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x))) = \cosh(3x) \cosh(\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x)) + \sinh(3x) \sinh(\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x)) $$

Utilizando las siguientes definiciones de las funciones hiperbólicas,

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $$

Comprobamos que el uso de $(*)$ Dejando los detalles para usted,

$$\cosh(\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x)) = \cosh\left(\frac{1}{2}\ln \left(\frac{(1+3x)(1-x)}{(1-3x)(1+x)} \right)\right) = \frac{1-3x^2}{\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}}$$

Del mismo modo, tenemos

$$\sinh(\tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x)) = \frac{2x}{\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}} $$

Poniendo todo esto junto,

$$I = \int_{-1/3}^{1/3} \sqrt{36x^4 - 40x^2 + 4} \cosh(3x + \tanh^{-1}(3x) - \tanh^{-1}(x)) \ \mathrm{d}x $$

$$I = \int_{-1/3}^{1/3} 2\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)} \left(\cosh(3x) \frac{1-3x^2}{\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}} + \sinh(3x)\frac{2x}{\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}} \right) \ \mathrm{d}x$$

Finalmente la integral se simplifica a,

$$I = 2 \int_{-1/3}^{1/3} (1-3x^2)\cosh(3x) \ \mathrm{d}x + 2 \int_{-1/3}^{1/3} 2x \sinh(3x) \ \mathrm{d}x $$

Lo cual es mucho más fácil de calcular con IBP y lo dejaré para que lo completes, esto sí da la respuesta correcta.

Answer 2

Utiliza la fórmula de la suma y simplifica la $\cosh(\tanh^{-1}(\cdot))$ , $\sinh(\tanh^{-1}(\cdot))$ su integrando se convierte en $2\cosh(3x)(1-3x^2)+4x\sinh(3x)$ .

Tenga en cuenta que $2\cosh(3x)(1-3x^2)-4x\sinh(3x)$ es la derivada de la función $\frac{2}{3}\sinh(3x)(1-3x^2)$ por lo que su integral es $\frac{4}{9e}(e^2-1)$ .

Así que queda por integrar $8x\sinh(3x)$ . Por partes, esto es $\frac{16}{9}\cosh(1)-\frac{8}{3}\int{\cosh(3x)}=\frac{8}{9e}(e^2+1)-\frac{8}{9e}(e^2-1)$ .

La suma da como resultado final $\frac{4e^2+12}{9e}$ .