Tampoco he hecho mucho más allá de un primer curso de álgebra abstracta, pero esto debería ser correcto:
Supongo que preguntas por homomorfismos para estudiar grupos cociente.
Para responder a "¿hay siempre una manera de encontrar un homomorfismo dado un grupo kernel y un grupo conocido?"...cuando el subgrupo dado (kernel) N es un subgrupo normal de G, el mapa π:G→G/N definido por π(x)=xN es un homomorfismo con Kernel N.
Cuando el núcleo dado no es normal, entonces no hay grupo factorial, ya que la operación de este grupo no está bien definida, pues existirán diferentes representantes de al menos un coset que, al "multiplicarse" con un representante de otro coset, ¡terminarán en cosets diferentes!
Para la siguiente pregunta: "¿Qué pasa cuando todas las entradas diagonales son iguales a uno"
una forma de ver lo que ocurre en el grupo de factores es ver los detalles al probar la normalidad del núcleo.
deje $$G = \begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix} in \ the \ set \ of \ invertible \ upper \ trianglular \ matrices$$
Luego, por métodos elementales, calculamos su inversa: $$G^-1 = \begin{pmatrix}1/a&-b/ad&bc/af\\0&1/d&-e/fd\\0&0&1/f\end{pmatrix}$$
utilizando la multiplicación de matrices comprobamos la normalidad de nuestro núcleo verificando si...
$$\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/a&-b/ad&bc/af\\0&1/d&-e/fd\\0&0&1/f\end{pmatrix}$$
también está en el núcleo. obtenemos
$$\begin{pmatrix}1&0&(bcd-be+axd+dc)/fd\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
que funciona en cualquier campo F y seguimos en el núcleo.
SI las entradas de la diagonal son todas uno, entonces la multiplicación matricial anterior se convierte en
$$\begin{pmatrix}1&0&bc-be+x+c\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
Permítanme señalar que esta versión modificada del grupo hace que las entradas de los elementos de los cosets nunca tengan que utilizar la operación de "división" del campo como las matrices iniciales anteriores.
Los cosets que utilizan el grupo original son los cosets que contienen la multiplicación de un representante arbitrario del núcleo y de G o
$$\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b&ax+c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix}$$
y por supuesto si las entradas de las diagonales son todas uno entonces se convierte en
$$\begin{pmatrix}1&b&c\\0&1&e\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&b&x+c\\0&1&e\\0&0&1\end{pmatrix}$$
así que cuando restringes el grupo de matrices 3x3 invertibles a que las diagonales sean lineales, todos los cosets son de tamaño 3|F| (si F es finito) ya que podemos manipular las matrices para que el x+c pueda ser CUALQUIER elemento del campo F. En el grupo original, tenemos situaciones en las que esto no puede ocurrir, como cuando a=2 y c=2 y ax+c nunca puede ser impar.
EN CUANTO AL GRUPO CUOTATIVO ORIGINAL: se define como la respuesta anterior.
cuando todas las diagonales son 1 entonces para la multiplicación del coset obtenemos
$$\begin{pmatrix}1&y&?\\0&1&u\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&y'&?\\0&1&u'\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&y'+y'&?\\0&1&u'+u\\0&0&1\end{pmatrix}$$
suponiendo un campo finito F: en nuestro grupo modificado (todas las entradas diagonales son uno) obtenemos cosets más grandes como resultado de hacer Nuestro grupo un poco más restringido, y lo anterior muestra cómo.
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En primer lugar, debe especificar qué tipo de entradas tienen sus matrices: ¿números reales? ¿Enteros? Enteros módulo $n$ ? ¿Racionales? Segundo: ¡la forma general es precisamente utilizar la proyección sobre el cociente! Pero lo que estás dando a entender es que el cociente no te parece directamente accesible, de modo que en realidad estás tratando de entender el cociente encontrando un homomorfismo en algún otro grupo con el que te sientas más cómodo. Eso dificulta mucho las cosas, porque equivale a averiguar qué "es" el cociente en abstracto para encontrar el homomorfismo
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¡@ArturoMagidin gracias por tu comentario ! ¡Sí, eso es exactamente correcto, no podía dar sentido a la cociente como es, computado algunos cosets aK sin suerte, es decir, no obtener una imagen clara. las entradas en cualquier campo F , lo siento debería haber mencionado que, pero mi pregunta principal era acerca de cómo se puede encontrar este tipo de mapas en general? para mí a menos que lo hice trabajar algo similar antes o visto en alguna parte, no es fácil encontrar un mapa !
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Para un grupo de núcleos determinado $G$ y un núcleo $N$ (que debe ser un subgrupo normal) siempre se tiene la proyección $\pi : G \to G/N$ que tiene un núcleo $\ker \pi = N$ .
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@0x539 gracias por tu comentario! sí que es el mapa de proyección, pero no me dice mucho acerca de la estructura de G / N , en este ejemplo. a menos que me estoy perdiendo algo muy fundamental .