¿Por qué don ' fractales t tienen más simetrías diferenciables?

Question

Algunos tienden a no "look" muy homogéneos, tales como la auto-similar fractales. Me gustaría saber por qué! Y hay una clase particular de declaraciones que tengo la esperanza de que puede ser hecho...

Definición

Deje $A$ ser un subconjunto de a $\mathbb R^n$. Considere dos puntos de $A$ equivalentes si tienen barrios similares, hasta un mapa diferenciable. Concretamente, para $x,y\in A$, escribir $x\sim y$ si existe un mapa de $f:A\to A$ y una matriz invertible $T\in\mathbb R^{n\times n}$ tal que $f(x)=y$ y $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)-T\Delta x}{|\Delta x|}=0.$$

Requiero $T$ a sea invertible, por lo que infinitesimales barrios de $x$ $y$ buscar affinely equivalente. (Si hemos permitido que la $T$ a un ser singular, a continuación, $f$ podría ser una constante mapa, lo que no sería interesante.) Para el caso, vamos a seguir adelante y exigir que $f$ sí es un bijection entre un barrio de $x$ y un barrio de $y$.

Ejemplo

Considerar el nivel medio-tercer conjunto de Cantor $C\subset[0,1]\subset\mathbb R^1$. Este conjunto es topológicamente homogénea en el sentido de que para todos los $x,y\in C$, hay un homeomorphism $h:C\to C$ tal que $h(x)=y$. De hecho, si tenemos en cuenta $C$ a ser un subconjunto de a $\mathbb R^2$, podemos encontrar una $h$ que se extiende a un homeomorphism de todos los de $\mathbb R^2$, e incluso podemos encontrar una isotopía de la identidad en $\mathbb R^2$. Así topológico métodos por sí solos no parecen ser suficiente para distinguir entre los puntos en $C$.

Una vez que empiece a considerar diferenciable mapas, $C$ empieza a mirar menos homogénea. En particular, $0\sim x$ si y sólo si $x$ tiene un número finito de ternario de expansión. La clase de equivalencia de a $0$ es contable, mientras que $C$ es incontable, por lo que hay relativamente pocos puntos equivalente a $0$.

Sospecho que cada clase de equivalencia en $C$ es contable, aunque sólo he probado el caso restringido de esta última afirmación al $f$ que se requiere para ser una isometría con respecto a la natural ultrametric en $C$. Estoy en busca de una teoría más general...

Preguntas

Bajo qué condiciones en $A$ estamos seguros de que:

1. Todos los puntos en $A$ son equivalentes? Por ejemplo, basta con que $A$ es un conjunto abierto, o que $A$ es un integrado variedad diferenciable.
2. Todas las clases de equivalencia en $A$ son en la mayoría de los contables? Puedo demostrar esto por lo suficientemente agradable mapas de $f$ donde $A$ es suficientemente agradable incorporación de la $p$-ádico enteros, que es el conjunto de las que estoy más interesado en el, pero de nuevo estoy buscando más general de los resultados. No es suficiente que el $A$ no contiene curvas diferenciables? O que $A$ es la nada, un diferenciable de la imagen de un producto $\mathbb R^k\times B$?
3. Al menos una clase de equivalencia en $A$ es en la mayoría de los contables? Por ejemplo, es suficiente para $A$ a contener un punto de esquina, ya que sólo puede ser equivalentes a los de otros puntos de esquina, y hay en la mayoría de los countably muchos rincones en cualquier subconjunto de a $\mathbb R^n$. Esto generaliza el ejemplo de $0\in C$ dado anteriormente. Pero algunos juegos en $\mathbb R^n$ $n\geq2$ no tiene esquinas; lo que acerca de ellos?

Si es necesario, se puede suponer que la $A$ está cerrado, o incluso que $A$ es un conjunto de Cantor. También se puede suponer que los mapas $f$ bajo consideración debe ser diferenciable en un barrio de $x$, o incluso el $C^1$, o que $f$ debe ser un bijection. Una declaración como la "Si $A$ es un conjunto de Cantor, a continuación, cada clase de equivalencia es en la mayoría de los contables" sería un home run!

Es este un problema sencillo o un problema difícil? No sé qué tipo de teoría de la cuestión no pertenece, por tanto, la referencia de solicitud de etiqueta. He oído hablar de el estudio de "análisis de Foo", donde Foo = conjuntos cerrados, espacios métricos, o fractales, pero estos temas parece que se centran en diferentes tipos de preguntas. Por supuesto, si este es un problema difícil, también puede consultar MathOverflow. Pero por lo que sé, el problema es una sencilla consecuencia del Teorema-he-Nunca-Oído -.

(edición en línea)

Answer 1

No tengo una respuesta detallada, pero existe una considerable literatura sobre la suave rigidez de conjuntos de Cantor (y otros definidos dinámicamente los fractales), a partir de

D. Sullivan, Diferenciable de la estructura fractal-al igual que los conjuntos determinados por intrínseca de la escala de funciones en dos conjuntos de Cantor. Evolución no lineal y caótico fenómenos (Noto, 1987), 101-110, la OTAN Adv. de la lesión. Inst. La Ser. B Phys., 176, Plenum, Nueva York, 1988.

y

D. Sullivan, Diferenciable estructuras de tipo fractal conjuntos, determinado por intrínseca de la escala de funciones en dos conjuntos de Cantor. La matemática patrimonio de Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 15-23, Proc. Sympos. Matemáticas Puras., 48, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1988.

Véase, por ejemplo:

R. Bamón, C. Moreira, S. Plaza, J. Vera,
Diferenciable de las estructuras de la central de conjuntos de Cantor.
Ergodic Theory Dynam. Sistemas 17 (1997), no. 5, 1027-1042.

Estos documentos están relacionados con la suave mapas entre los diferentes conjuntos de Cantor, pero usted debería ser capaz de utilizar sus resultados en la colocación de un único conjunto de Cantor $C$ donde usted tiene el extra requisito de que $f: C\to C$ envía $x$ $y$donde $x, y$ son puntos dados.

Si usted va a www.ams.org/mathscinet y la mirada de los papeles que se refieren los dos artículos por Sullivan enumerados anteriormente, usted encontrará muchas más referencias.

Answer 2

He tenido mejor suerte en la búsqueda en la literatura para los resultados relacionados con la Hilbert-Smith conjetura. La frontera entre lo posible y lo imposible parece estar en algún lugar entre Lipschitz ambiente de la homogeneidad y la $C^1$ ambiente homogeneidad.

En el lado positivo, desde Repovs y Scepin (1997), "Una prueba de Hilbert-Smith conjetura de acciones por parte de Lipschitz mapas":

Malesic demostró en 1994 que el estándar del conjunto de Cantor en R2 es de Lipschitz ambiente homogéneo. Él también construyó Antoine collar en R3, que también es de Lipschitz ambiently homogénea [18].

La referencia [18] J. Malesic: Toroidal descomposición de las 3 dimensiones de la esfera. Tel. D. Tesis de la Universidad de Ljubljana, 1995. Me parece que no puede encontrar esta referencia, pero puedo adivinar con alto nivel de confianza de lo que significan.

En el lado negativo, de Repovs, Skopenkov y Scepin (1996), "$C^1$-homogénea compacta en $\mathbb R^n$ $C^1$- submanifolds de $\mathbb R^n$":

Comenzamos por recordar ... que un subconjunto $K \subset \mathbb R^n$ se dice $C^1$- homogénea si para cada par de puntos de $x, y \in K$ existen barrios $O_x, O_y \subset \mathbb R^n$$x$$y$, respectivamente, y un $C^1$-diffeomorphism $h: (O_x, O_x \cap K, x) \to (O_y, O_y \cap K, y)$, es decir, $h$ $h^{-1}$ tienen primeras derivadas continuas...

Teorema 1.1. Deje $K$ ser localmente compacto (posiblemente nonclosed) subconjunto de $\mathbb R^n$. A continuación, $K$ $C^1$- homogénea si y sólo si $K$ $C^1$- submanifold de $\mathbb R^n$.

No he digerido la última prueba, pero creo que esto deja abierta la cuestión de si un conjunto de Cantor puede ser "meramente differentiably homogénea". Ahora puedo demostrar que esto es imposible en $\mathbb R^n$ $n=1$ $n=2$ primaria métodos, aunque no tengo una prueba para $n\geq 3$.

Referencias adicionales o aclaraciones de estos resultados aún sería más que bienvenida!