Una integral simple con una pregunta.

Question

La pregunta es: Para $x$ es igual a $4$ e $9$, ¿por qué es $t$ no $\pm2$ e $\pm3$ pero sólo $2$ e $3$ ?

Answer 1

Puede utilizar la raíz cuadrada negativa si usted desea; todo funciona de la misma manera en el final. Si denotamos el positivo de la raíz cuadrada de $x$ por $\sqrt{x}$, podemos sustituir el $t = -\sqrt{x}$ lugar. Todavía tenemos $t^2 = x$, lo $2 t \, dt = dx$ como antes. Por lo que la integral se convierte en $$\begin{align*} \int_{-2}^{-3} \frac{2 t \, dt}{-t -1} &= 2 \int_{-3}^{-2} \frac{t}{t + 1} dt \\ &= 2 \left[ \int_{-3}^{-2} dt - \int_{-3}^{-2} \frac{dt}{t+1} \right] \\ &= 2 \Big[ t - \ln |t+1| \Big]_{-3}^{-2} \\ &= 2 \Big[ -2 - (-3) - \left( \ln(1) - \ln(2) \right)\Big] \\ &= 2 + 2 \ln 2. \end{align*}$$ Los pasos que se verá un poco diferente, pero funciona a ser exactamente el mismo resultado. Esta es una importante lección en general: a menudo hay más de una posible sustitución que permite resolver una integral.

Answer 2

Por convención, $\sqrt{a}$ representa la no-negativo de la raíz cuadrada, o el director de la raíz cuadrada, de $x$. Por lo tanto, el único caso en que hay dos polos de soluciones es cuando ha $\pm\sqrt{a}$. (Nota de la extra $\pm$ de signo). Por lo tanto, es importante tener en cuenta que $x = \sqrt{a}$ (uno no negativo de la solución). no debe ser confundido con $x^2 = a \iff \vert x\vert = \sqrt{a} \iff x = \pm\sqrt{a}$ (dos soluciones). Así, por ejemplo, $\sqrt{4} = \color{blue}{+}2$ e $\sqrt{9} = \color{blue}{+}3$.

Answer 3

Porque bajo notación estándar y generalmente aceptada,

$$ \forall x\ge0;\sqrt x =|x^{\frac12}| Es decir, la raíz cuadrada se usa en este caso para significar la raíz cuadrada positiva .