¿Cuál es la diferencia entre " $=$ " y " $\equiv$ "?

Question

Recientemente estaba pensando en algunas de mis clases de matemáticas del pasado, y dependiendo del contexto recuerdo que mis profesores a veces usaban el " $\equiv$ " en lugares en los que me sentiría " $=$ " para que sea más apropiado. Por ejemplo, ya que esto sería a menudo el caso en mis clases sobre ecuaciones diferenciales y series de Fourier, tendríamos (para $n \in \Bbb N, k \in \Bbb Z$ )

$$(-1)^{2n+1} \equiv -1$$ $$\sin(k\pi) \equiv 0$$

¿Hay alguna razón particular en este contexto por la que diríamos " $\equiv$ " en lugar de " $=$ "? La segunda parece más natural en este contexto, lo que me hace pensar que hay alguna razón para que mis profesores utilicen la primera.

Estoy familiarizado con la noción de " $\equiv$ "en el contexto de, por ejemplo, la teoría elemental de los números (específicamente la aritmética modular) donde podríamos decir

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

que no es decir " $10$ es igual a $1$ ", sólo que " $10$ es como $1$ en este contexto". Pero eso no parece encajar en el caso como con las dos primeras afirmaciones - porque no creo que sea eso $(-1)^{2n+1}$ es como $-1$ o que $\sin(k \pi)$ es como $0$ , ellos son $-1$ y $0$ respectivamente.

¿Estoy equivocado en este último hecho? ¿Hay algo que se me escapa? ¿Cuál es, precisamente, la diferencia entre las dos notaciones?

Answer 1

Daré un ejemplo de cada uno.

$$2x=x+1$$

Esto es así cuando $x=1$ sólo, por lo que el símbolo de igualdad es apropiado. En resumen, utilizamos un $=$ cuando específico valores resuelven la expresión.

Por el contrario, tenemos:

$$2x\equiv x +x$$ Cualquiera que sea el valor de $x$ Esto se cumple. Esta es una obviedad algebraica, pero otra podría ser $$\sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1$$

El símbolo de identidad $\equiv$ se utiliza cuando una igualdad es válida para todos los valores del dominio especificado (por ejemplo $\Bbb R$ ).

Answer 2

El signo de igualdad " $=$ "se utiliza para las igualdades, ecuaciones, identidades y definiciones de funciones.

Ejemplos de igualdades son $3=2+1$ o $12^2 = 144$ donde dos números son iguales.

Ejemplos de ecuaciones son $ 3x+1=10$ o $x^2-4=0$ donde para algunos valores de la variable ambos lados dan como resultado el mismo valor.

Algunos ejemplos de identidades son $\sin ^2 x + \cos ^2 x =1$ o $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ donde ambos lados son idénticos para cada valor de las variables.

Para las identidades a veces $\equiv $ se utiliza en lugar de $=$ por ejemplo, podemos utilizar $ e^{i\theta} \equiv \cos \theta + i \sin \theta$ o $\sin ^2 x + \cos ^2 x \equiv 1$ o $(x+y)^2 \equiv x^2+y^2+2xy$ para subrayar que se trata de una identidad y no de una ecuación.

Para las funciones, a veces utilizamos $ f(x) \equiv c$ para destacar que el valor dado $c$ es para todos los valores de $x$