Dirac Delta Función y Posición

Question

¿Cómo se demuestra que la distribución de Delta de Dirac es la función propia del operador de posición $\hat{x}$ ? En matemáticas, ¿por qué $\langle x'|x\rangle = \delta(x'-x)$ ?

Answer 1

Esto es cierto no solo para la posición de los vectores propios. Esto es cierto para todos los vectores propios en su propio (ortonormales) eigenbasis.

Para un operador con discretos autovalores $n$ con vectores propios $|n\rangle$, $$\langle n'|n\rangle=\delta_{n,n'}$$ donde $\delta_{n,n'}$ es la Delta de Kronecker es $1$ cuando $n=n'$ e $0$ lo contrario.

Para un operador con un espectro continuo de valores propios $p$ con vectores propios $|p\rangle$, $$\langle p'|p\rangle=\delta(p'-p)$$ donde la $\delta$ esta vez es la función delta de Dirac.

Esto es todo solo porque a la hora de expresar un vector en una base donde que el vector es una base de vectores, sólo tiene un componente que a lo largo de un vector (a sí mismo).

---

Esto no es parte de la pregunta principal, pero creo que se refiere a la idea general de lo que las expresiones anteriores realmente significa y por qué se utilizan en la forma en que se utilizan.

¿Saben por qué es necesario hacer para que el eigenfunction infinitamente alto cuando se trabaja en el espectro continuo?

Esto es una mala imagen de la función delta de Dirac. Permite una primera mirada a la delta de Kronecker. Si tenemos esto en una suma $$\sum_{n'} \delta_{n,n'}c_{n'}$$ Sabemos que esta suma se acaba de evaluar a $c_n$. La delta de Kronecker "mata a" todos los demás $c_{n'}$ términos.

Ahora vamos a pasar a la continua versión de este ejemplo con la función delta de Dirac: $$\int \delta(p-p')c(p')\text d p'=c(p)$$ Ahora la integral es un continuo "suma" de los términos de $c(p')\delta(p-p')\text d p'$. Nótese cómo aquí tenemos a $\text d p'$ en cada término. Por lo tanto, si queremos escoger sólo $c(p)$ de esta suma, necesitamos $\delta(p-p')$ a ser igual a $1/\text d p'$ cuando $p'=p$ e $0$ lo contrario. Desde $\text d p'$ es una cantidad infinitesimal, $1/\text d p'$ es una cantidad infinita. Esta es la razón por la que podemos ver que la función delta de Dirac como una infinita spike, pero dicen que esta un poco oculta la anterior analogía con el caso discreto.