¿Simplificaría un operador de potencia conmutativo algunas ecuaciones de la física?

Question

Teoría de hipertipos hace la sugerencia radical de que un operador de potencia conmutativo sería preferible al operador de potencia no conmutativo tradicional $a^b$ . ¿Existen ecuaciones en física que se simplificarían utilizando un operador de este tipo?

Operador de potencia no conmutativo : $a^b = e^{\lg(a)×b}$

Operador de potencia conmutativo : $a \# b = b \# a = e^{\lg(a)×\lg(b)} = a^{\lg(b)} = b^{\lg(a)}$

Elemento de identidad : $a\#e = e\#a = a$

Operador inverso : $a \backslash b = e^{\frac{\lg(a)}{\lg(b)}} = a^{\frac{1}{\lg(b)}}$

Conexión tradicional : $a^b = a\#e^b$

Terminología :

En $\#$ operación se denomina expansión y $a \# b$ lee "a expande b" .

En $\backslash$ operación se denomina contracción y $a \backslash b$ lee "a contrata b" .

Obviamente, muchas ecuaciones como $e = mc^2$ sufriría con tal sustitución y debería dejarse intacta. La pregunta se interesa por ecuaciones más complejas que podrían simplificarse.

Nota : Esto es importante porque la suma y la multiplicación son conmutativas, pero la exponenciación no lo es. Si uno piensa en una multiplicación como hacer múltiples sumas y una exponenciación como hacer múltiples multiplicaciones, la falta de conmutatividad para la exponenciación es molesta. En su lugar, uno debería pensar en la suma, la multiplicación y la expansión como si fueran la misma operación aplicada a diferentes escalas exponenciales. Obviamente, lo mismo ocurre con la resta, la división y la contracción.

Fundamentos algebraicos : Teoría de hipertipos muestra que se puede crear un número infinito de estos pares de operadores de forma recursiva utilizando ecuaciones muy sencillas. La sencillez y belleza del modelo sugiere que estamos ante algo interesante.

Answer 1

Creo que en esta pregunta se entiende al revés lo de la notación. Una buena notación se inventa cuando te das cuenta de que tus cálculos quedarían mejor si hicieras unas cuantas definiciones nuevas. Tratas de partir de una definición que te gusta para fines no prácticos y buscas un contexto en el que sea práctica.

Seguramente encontrará algunos ecuaciones por ahí que son más cortos con su notación, pero eso es cierto para cualquier notación. Podría definir $\biguplus = 27$ y utilizarlo para acortar algunas ecuaciones. Feynman da el ejemplo de definir $\mathscr{U} = |\mathbf{F} - m \mathbf{a}|^2$ de modo que la segunda ley de Newton se simplifica a la forma "elegante" $$\boxed{\mathscr{U} = 0.}$$ Como siempre, las ventajas de la notación deben compensarse con la sobrecarga mental que supone "desempaquetarla". Por ejemplo, con las formas diferenciales podemos reducir las ecuaciones de Maxwell a $$d \star F = \star J.$$ Esta elegancia merece la pena porque realmente puede no tenemos que descomprimirlo en una notación tensorial normal para poder utilizarlo. Pero sospecho que la mayoría de la gente que se encuentre con tu notación # la descomprimirá inmediatamente en exponenciales normales, porque son mucho más familiares, anulando por completo la ventaja. Es como un nuevo lenguaje de programación. Si lo construyes, no vendrán a menos que sea útil.

El otro obstáculo, por supuesto, es que la mayoría de las cantidades en física tienen dimensiones, mientras que tu expresión sólo tiene sentido si ambas $a$ y $b$ son adimensionales. Por eso tienes más suerte mirando las matemáticas puras.

Answer 2

Cada operador puede simetrizarse, antisimetrizarse y descomponerse potencialmente en casi cualquier combinación de estructuras de grupo internas y externas. Para tu caso particular, consulta la fórmula BCH (Baker-Campbell-Hausdorff).

Los operadores que planteas son erróneos porque $a^{\log b}$ no es igual a $b^{\log a}$ a menos que $a$ y $b$ conmutar para empezar. Esto se puede confirmar fácilmente escribiendo la serie de potencias para $e^{\log a \log b}$ frente a $e^{\log b \log a}$ .

Sin embargo, la respuesta breve a tu pregunta es que cualquier operador que se pueda linealizar se puede poner en forma matricial. A partir de ahí, basta con sustituir potencias de la operación (o trascendentes en series de potencias) por funciones sobre la suma de funciones de los valores propios.