Prueba de que$x^4 - qy^4 = az^2$ no tiene solución integral

Question

Esta es una pregunta de Takashi Ono libro, el Problema 1.45 para ser exactos. La pregunta es
Deje $q$ ser un primo tal que $q = 1 \mod 8$ e $a$ ser un entero tal que $p^2\not\mid a$ para cualquier prime $p$ y que $x^4 = a \mod q$ no tiene solución en $Z$. Demostrar que la ecuación de $x^4 - qy^4 = az^2$ no tiene solución integral que no sea x = y = z = 0.

Estoy muy atascado, esta pregunta viene después de la sección de la reciprocidad cuadrática, pero no está seguro de lo que puedo hacer con ella

Answer 1

Si hay soluciones, entonces hay soluciones con $x$, $y$, $z$pares coprime. Si $p\mid x$, $y$, a continuación, $p^4\mid az^2$ y como $p^2\nmid a$luego $p^2\mid z$. A continuación, $(x/p,y/p,z/p^2)$ es también una solución. Similar los argumentos de la obra cuando se $p\mid x,z$ e al $p\mid y,z$.

Supongamos que $(x,y,z)$ formar un pares coprime solución de la ecuación. Deje $p$ ser una extraña primer dividiendo $z$. Entonces como $x^4\equiv qy^4\pmod p$ llegamos $\left(\frac qp\right)=1$ y, a continuación, $\left(\frac pq\right)=1$ por la reciprocidad cuadrática. Como $\left(\frac {-1}q\right)=\left(\frac 2q\right)=1$luego $\left(\frac zq\right)=1$.

No es $u$ con $z\equiv u^2\pmod q$. A continuación, $x^4\equiv au^4\pmod q$, y como ambos lados son cero modulo $q$, a continuación, $a$ es una cuártica de residuos, una contradicción.

El ejemplo $x^4-17y^2=2z^2$ es un contraejemplo al principio de Hasse a cuárticas y es debido a Reichardt.