¿Hay matemáticas con la multiplicación no conmutativa de números reales?

Question

Me pregunto si hay una matemática con una multiplicación no conmutativa de números reales. Por ejemplo, podríamos definir el operador ⊗ para $ n, m ≥ 0$ :

$$ n⊗ m = n\times m $ $ $$ n⊗ (-m) = n\times m $ $ $$ -n⊗ m = -(n\times m) $ $ $$ -n⊗ (-m) = -(n\times m) $ $

O podemos elegir otras reglas de multiplicación.

¿Cómo podrían aplicarse estas matemáticas?

Answer 1

Si no me equivoco, una posible opción es $n\circ m=|n|m$ . Entonces:

No conmutatividad $n\circ m=|n|m\not=|m|n=m\circ n $ .

(es fácil comprobar que en realidad es asociativo como $(x\circ y)\circ z=(|x|y)\circ z=||x|y|z=|xy|z.$ mientras que $x\circ(y\circ z)=x\circ(|y|z)=|x||y|z=|xy|z$ )

Answer 2

Me proceder asumiendo que quería, además de permanecer en el mismo (ya que no dijo nada sobre el cambio.)

Si usted no se preocupan por la distributividad, o no se preocupan por la adición período, entonces sí, usted puede tomar cualquiera que sea la función que desee $\mathbb R\times\mathbb R\to \mathbb R$ y a veces el orden de las entradas será de importancia.

Si hacemos la atención acerca de la adición, a continuación, puede proponer lo que sea extraño reglas que usted desea para una operación binaria, pero muchas veces será desastroso para otras propiedades que nos de valor acerca de la multiplicación, como la distributividad.

Tome la segunda a la propuesta axioma por ejemplo: $n\otimes(-m)=nm$

Si queríamos distributividad, $n\otimes m + n\otimes(-m)=n\otimes(m-m)=0$, por lo que $n\otimes(-m)=-(n\otimes m)=-nm$. Con su axioma anterior, tendríamos $nm=-nm$ , de modo que $2nm=0$. Pero esto es el uso regular de la multiplicación y sabemos que no es verdad en el número real distinto de cero para $n,m$.

Creo que hay un poco "bicho raro" operaciones binarias en $\mathbb R$ que puede ser útil, pero por lo general las más usadas son aquellos que cooperan con la adición, por lo que tiene una estructura de anillo.

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¿Cómo puede la matemática se aplica?

Trate de no caer en el hoyo del conejo de pasar el tiempo con "soluciones en busca de problemas" y tratar de entrar en la mentalidad de "problemas buscando soluciones". Casi siempre (o siempre?) la más fructífera de las matemáticas se generan en el servicio de la solución de un problema, no la otra manera alrededor.

PERO tal vez usted quería preguntar algo más parecido a esto, que creo que es una buena pregunta:

¿Cuáles son algunos ejemplos de no conmutativa operaciones binarias sobre los reales que tienen las aplicaciones?

Bueno, ahora que lo pienso, los dos vienen a la mente:

$a\otimes b=a/b$ e $a\otimes b=a-b$. Estos 'aplicaciones', sino que su estudio no parecen ir mucho más allá de lo que aprendimos con el ordinario de la multiplicación.

Answer 3

Como se ha señalado por varias personas ya, su propuesta de $\otimes$ rompe la distributividad. Lo que es más, la costumbre de multiplicación de $\times$ es casi la única operación binaria en el que se respeta la distributividad. En particular, no hay (continua) no conmutativa operaciones binarias sobre los reales que satisfacen la distributividad. Aquí está la prueba:

Considere la posibilidad de una distribución binaria de operación $\otimes$ que es continua en ambos argumentos. Para cualquier $a,b\in \mathbb{R}$ y cualquier entero $n$, tenemos los siguientes:

• Por repetir la distributividad, $$a \otimes (nb) = a \otimes (b + b +\dots +b) = a\otimes b + a\otimes b + \dots + a\otimes b = n(a\otimes b)$$
• A continuación, también se $a\otimes b = a \otimes \left(\frac{nb}{n}\right) = n\left(a \otimes \frac{b}{n}\right)$, por lo que $\left(a \otimes \frac{b}{n}\right) = \frac{1}{n} a\otimes b$.
• Junto con las observaciones muestran que para cualquier número racional $r$ tenemos $a\otimes rb = r(a\otimes b)$.
• Por la continuidad, para cualquier número real $r$ tenemos $a\otimes rb = r(a\otimes b)$.
• Análogas observaciones para el lado izquierdo del argumento de mostrar que para cualquier real $r$ tenemos $(ra)\otimes b = r(a\otimes b)$.

Por lo tanto $a\otimes b = ab(1\otimes 1)$. Así que nuestra operación binaria $\otimes$ es sólo regular la multiplicación hasta un total factor de escala $1\otimes 1$.

Así que usted no puede mantener la distributividad si quieres no commutivity en los números reales. Por otro lado, si no requiere la distributividad, una "operación binaria" en realidad no es nada sino una función de dos variables, por lo que es inútil pensar en ello como una "multiplicación". Hay un montón de interesantes funciones de dos números reales, muchos de los cuales son "no-conmutativa", pero no es muy útil para llamar la multiplicación si no satisfacen la distributividad.

Sumariamente, yo diría que la respuesta a su pregunta es "no, no hay ningún útil de matemáticas con los no-conmutativa de la multiplicación de los números reales". La historia es, por supuesto, muy diferente respecto a otros campos de número o matrices. En estos casos, hay muchos interesantes distributiva, no conmutativa operaciones binarias.

Answer 4

Un poco menos concreto: construya una serie de conjuntos entre su grupo de cardinalidad no abeliano favorito $2^{\aleph_0}$ y $\mathbb{R}$ , "imite" la operación de grupo en $\mathbb{R}$ a través de este mapa. Ejemplo: $GL(2,\mathbb{R})$ .

Answer 5

En lugar de hablar verdaderamente artificial o artificiales de las nociones de número o de las operaciones sobre los números reales, por qué no, al menos, contemplar el cliché "el reloj de la aritmética", donde (en una típica analógico reloj de pared) 12 + 1 = 1, por lo que 12 se comporta como 0, etc.

Para que la materia, creo que el más sencillo de los genuinos de los lotes de "no-conmutativa números" es el cuaterniones de Hamilton... que son muy útiles en la expresión de las rotaciones, y se utilizan para una eficiente rotación en el espacio-cálculos tanto en la NASA y en 3D juegos de video. Esto podría agitar para averiguar un no muy dolorosa manera de abordar el tema de los cuaterniones... y los números complejos... en lugar de arbitrar las cosas que son, inevitablemente, muy falso (y no persuasivo). Después de todo, no tenemos que dar todos los terribles detalles...