¿Se limita la secuencia de sumas de inverso de números naturales?

Question

Estoy leyendo a través de Spivak Ch.22 (Secuencias Infinitas) ahora. Él mencionó en la parte escrita que a menudo no es un asunto trivial para determinar el acotamiento de las secuencias. Con eso en mente, nos dio una secuencia de masticar antes de aprender más sobre el acotamiento. Esa secuencia es:

$$1, 1+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}, 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}, . . .$$

Sé que una sucesión es acotada arriba, si hay un número $M$ tal que $a_n\leq M$ para todos los $n$. Las sugerencias aquí?

Answer 1

Este es un ejemplo clásico de cómo nuestra intuición puede estar equivocada con respecto a los infinitos. Como dijo @Kavi en los comentarios, esta es la serie armónica y, de hecho, diverge. Creo que Spivak proporcionó esto como un ejemplo para "masticar" con el fin de mostrar cómo puede ser el límite no trivial, ya que a primera vista muchas personas creen que esta secuencia debería estar limitada.

Answer 2

De hecho, puedes notar que

$$a_1=1,a_4>2(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}), a_8>\frac{5}{2}(=a_4+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}),a_{16}>3(=a_{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+..8times)$$, so the general pattern is $ a_ {2 ^ {2n}}> n +1$, so given an upper bound M, you can find a natural number n s.t. $ n \ geq M$ by archimedian property and so $ a_ {2 ^ {2n}}> n +1> M $ y por lo tanto no puede ser limitado.