Comparación de las integrales por medios algebraicos.

Question

$$ \begin{align}A&:=\int_0^1\frac1{\sqrt{x(1-x)}}\ \mathrm dx \\ B&:=\int_0^1\sqrt{x(1-x)}\ \mathrm dx \end{align} $$

Mi CAS me dice que $A = \pi$ e $B = \frac18\pi$.

Cómo puede uno demostrar que $A=8B$ utilizando sólo las reglas básicas de integración, tales como la regla de la cadena?

Funciones trigonométricas no están permitidos, ya que no están definidos como de las integrales. Ni es la función Gamma se permite, ya que se define en términos de exp, que es como una función trigonométrica. Estas restricciones son parte de lo que quiero decir por "algebraica". Por otro lado, la integración por partes es buena. Equivalentemente, el teorema fundamental del cálculo también está bien.

Answer 1

Si la integración por partes es un enfoque aceptable, entonces podemos proceder como sigue.

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En primer lugar, vamos a $B$ ser la integral definida como

$$B=\int_0^1 \sqrt{x(1-x)}\,dx\tag1$$

La integración por partes con $u=\sqrt{x(1-x)}$ e $v=x$ en $(1)$, obtenemos

$$B=\frac12 \int_0^1 x\left(\frac{\sqrt x}{\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt x}\right)\,dx\tag2$$

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Ahora hacer cumplir la sustitución de $x\mapsto 1-x$ en el primer término en el lado derecho de la $(2)$ revela

$$\int_0^1 x\frac{\sqrt x}{\sqrt{1-x}}\,dx=\int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt x}\,dx-\int_0^1 \sqrt{x(1-x)}\,dx\tag3$$

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Sustituyendo $(3)$ a $(2)$ nos encontramos con que

$$B=\frac14 \int_0^1 \frac{\sqrt {1-x}}{\sqrt{x}}\,dx\tag 4$$

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Por último, la integración por partes con $u=\frac{\sqrt {1-x}}{\sqrt{x}}$ e $v=x$ en $(4)$ rendimientos

$$B=\frac18 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}\,dx$$

como iba a ser mostrado!

Answer 2

De hecho, por integración por partes, uno tiene \begin{eqnarray*} B&=&\int_0^1\sqrt{x(1-x)} \mathrm dx\\ &=&-\frac12\int_0^1\frac{x(1-2x)}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx\\ &=&-\frac12\int_0^1\frac{x(1-x)-x^2}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx\\ &=&-\frac12B+\frac12\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx \end {eqnarray *} y por lo tanto $$ 3B=\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx. \tag{1}$ $ Under $1-x\to x$ , (1) se convierte en $$ 3B=\int_0^1\frac{(1-x)^2}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx. \tag{2}$ $ Adding (1) to ( 2), uno tiene $$ 6B=\int_0^1\frac{x^2+(1-x)^2}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx=\int_0^1\frac{1-2x(1-x)}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm dx=A-2B.$ $ Esto implica $$ A=8B. $ $