Lascar dice a menudo no siempre . La filosofía -que relacionas correctamente con el Programa de Erlangen de Klein; creo que harías bien en estudiarlo y leer lo que Klein tiene que decir al respecto- ciertamente funciona mejor para las estructuras que tienen grupos de automorfismo grandes y ricos. La motivación original de Klein fue la observación de que muchas de las características de un geometría están determinadas por su grupo de isometrías, que suele ser un grupo de Lie de dimensión positiva. Las geometrías con grupos de isometría no isomórficos son profundamente diferentes. Las geometrías con grupos de isometría isomórficos suelen tener algunos puntos comunes profundos.
Creo que es una pregunta demasiado amplia para pedir algo parecido a una descripción exhaustiva de las estructuras para las que el grupo de automorfismo juega un papel clave. He aquí dos ejemplos importantes:
La clasificación de los haces de fibras en un espacio topológico (suficientemente bonito) depende sólo del grupo de automorfismo de la fibra, no del tipo de homeomorfismo de la fibra. Esto conduce a una descripción/construcción de los haces de fibras en un espacio en términos de 11 -con coeficientes en el grupo de automorfismo. También la noción de "reducción del grupo estructural" es clave en el estudio de los haces de fibras. Por ejemplo, una variedad diferenciable paracompacta es orientable si el grupo estructural del haz tangente puede reducirse a GLn(R)+ . Admite una métrica riemanniana si el grupo estructural puede reducirse a On(R) . De hecho, esto último es siempre así, y eso se puede entender (entre otras cosas) comprendiendo la forma en que On(R) se sienta en el interior GLn(R) .
Un principio estrechamente relacionado es el de Descenso de Galois : si V/K es una estructura algebraica definida sobre un campo (ejemplos: a K -una variedad, una variedad de grupo), entonces el conjunto de formas retorcidas de V/K -- a saber, aquellos objetos W/K que se convierten en isomorfos de V sobre el cierre algebraico de K -- se parametrizan de nuevo con 1 -con coeficientes en el grupo de automorfismo de V . En particular, cuando dos objetos que tienen grupos de automorfismo isomorfos, existe una biyección entre las formas retorcidas. Aquí el caso de un grupo de automorfismo trivial no es un caso trivial: cuando el grupo de automorfismo es trivial, no hay formas retorcidas más que V .
Uno podría extenderse eternamente en lo anterior, así que me limitaré ahora a la teoría de los grafos.
Para todo gráfico finito G existe un grafo finito no isomorfo G′ tal que Aut(G)≅Aut(G′) .
Esto se deduce fácilmente del hecho que ha mencionado: para todo lo suficientemente grande n existe un grafo conexo Rn en n vértices con grupo de automorfismo trivial (y, de hecho, la proporción de tales gráficos entre todos los gráficos conectados se aproxima a 1 como n se acerca al infinito). Entonces, dada una gráfica G con n vértices, G∐Rn+1 debe tener el mismo grupo de automorfismo que G .
Dejemos que G sea un grafo simple no vacío en n vértices con grupo de automorfismo Sn . Entonces G=Kn es el gráfico completo en n vértices.
Podemos suponer n≥2 y luego Sn actúa de forma doblemente transitiva sobre {1,…,n} En otras palabras, dados dos pares de vértices distintos, existe un automorfismo del grafo que lleva uno a otro. Como el grafo no es vacío, hay dos vértices v1 y v2 conectados por un borde. Se deduce que cada par de vértices está conectado por una arista.
Por cierto, el hecho de que la mayoría de los grafos finitos tengan un grupo de automorfismo trivial sólo significa que no se puede utilizar el grupo de automorfismo como herramienta para clasificar gráficos finitos (que de todos modos es un problema bastante desesperante). Esto no significa que el grupo de automorfismo de un grafo no sea un invariante muy interesante y útil. En la práctica, los grafos individuales de mayor interés tienden a ser los que tienen un grupo de automorfismo grande e interesante (y recordemos que por un teorema de Frucht, todo grupo se presenta hasta el isomorfismo como un grupo de automorfismo de algún grafo). Por ejemplo, los grafos de Cayley de los grupos son extremadamente importantes, y en ellos el grupo de automorfismo actúa simplemente de forma transitiva. A la inversa, un célebre teorema de G. Sabidussi dice que cualquier grafo que admita un subgrupo simplemente transitivo G de los automorfismos debe ser un grafo de Cayley en el grupo G . Por lo tanto, el grupo de automorfismo de un gráfico puede nos dan información importante sobre el grafo, especialmente cuando se consideran como un grupo de permutación sobre el conjunto de vértices y no como un grupo abstracto.