Casco convexo en espacio proyectivo.

Question

Deje que$S \subseteq \mathbb R\mathbb P^n$ sea un conjunto conectado cerrado que no se interseca con cada hiperplano. Si elijo cualquier gráfico afín que contenga$S$, puedo considerar su casco convexo, y parece razonable que esta operación no dependa del gráfico en particular. ¿Hay alguna buena manera de ver esto?

Gracias

Answer 1

Considere dos hyperplanes $[X],[Y] \subset \mathbb{R}P^n$, definido por dos lineal hyperplanes $X,Y \subset \mathbb{R}^{n+1}$, de tal manera que $S$ está contenida en cada uno de los dos afín gráficos $\mathbb{R}P^n - [X]$, $\mathbb{R}P^n - [Y]$. De ello se desprende que $S \subset \mathbb{R}P^n - ([X] \cup [Y])$.

El subconjunto $\mathbb{R}^{n+1} - (X \cup Y)$ tiene cuatro componentes, y estos determinan en un dos-a-uno de la moda de los dos componentes de $\mathbb{R}P^n - ([X] \cup [Y])$: cada componente $W$ $\mathbb{R}^{n+1} - (X \cup Y)$ determina un componente de $\mathbb{R}P^n - ([X] \cup [Y])$ que voy a denotar $[W]$, que consta de todos los puntos de $[A] \in \mathbb{R}P^n$ representado por la apertura de un rayo $ A \subset W$ basado en el origen.

Los dos componentes de la $\mathbb{R}P^n - ([X] \cup [Y])$, uno de ellos, decir $[W]$, contiene el conjunto de $S$. Dados dos puntos $[A],[B] \in [W]$ representado por los rayos de $A,B \subset W$ como en el anterior, el conjunto de combinaciones lineales positivas $sa+tb$, $a \in A$, $b \in B$, $s,t>0$ también se encuentra en $W$, y así cada uno de los afín gráficos $\mathbb{R}P^n - [X]$, $\mathbb{R}P^n - [Y]$ define el mismo segmento de $\overline{[A][B]} \subset \mathbb{R}P^n - ([X] \cup [Y])$, que consta de todos los puntos en $\mathbb{R}P^n$ de la forma $[sa+tb]$.

Esto muestra que el casco convexo de $S$ como se define en cada uno de los afín gráficos $\mathbb{R}P^n - [X]$, $\mathbb{R}P^n - [Y]$ es el mismo.