Perfil de velocidad de una ola viscosa amortiguada

Question

Para un caso de prueba, quiero determinar el perfil de velocidad de un viscoso de amortiguamiento de la onda estacionaria.

Alineando la densidad ($\rho=\rho_0+\rho'$) y la velocidad ($ux=ux'$), el de la continuidad y de Navier-Stokes, ecuaciones de resultado, respectivamente:

\begin{align} \partial_t\rho' + \rho_0\partial_xu_x' &= 0 \tag{1} \\ \partial_t^2\rho' &= \partial_x^2\rho'c_s^2 + \nu\partial_t\partial_x\rho' \tag{2} \end{align}

El $c_s$ es sólo una constante que indica que estamos tratando con un ideal de presión plazo ($p=\rho c_s^2$)

Una solución para la densidad de la a $(2)$ está dada por:

$$\rho=\rho_0+\Delta\rho\sin(k_xx)\cos(\omega_it)\exp(-\omega_rt)$$

donde $$k_x=2\pi/n_x, \quad \omega_r=\frac{1}{2}k_x^2\nu, \quad \omega_i=k_xc_s\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\frac{k_x\nu}{c_s} \right)^2} \, .$$

Ahora quiero para determinar la velocidad; parece sencilla de utilizar, $(1)$ para obtener

$$\partial_xu_x'=-\partial_t\rho'/\rho_0=\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\sin\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right)$$

e integrar para obtener

$$u_{x}'=-\frac{1}{k_{x}}\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\cos\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right)+K$$

donde $K$ es una constante de integración. Mi enfoque fue determinar $K$ por ajuste de la velocidad cero en un antenodo (en $x=n_x/4$), para obtener

$$u_{x}'=-\frac{1}{k_{x}}\frac{\triangle\rho}{\rho_{0}}\cos\left(k_{x}x\right)\left[\omega_{r}\cos\left(\omega_{i}t\right)-\omega_{i}\sin\left(\omega_{i}t\right)\right]\exp\left(-\omega_{r}t\right) \, .$$

Sin embargo, la comparación de la simulación con la solución analítica, parece que la amplitud de la velocidad es mucho mayor en la simulación.

Es mi método descrito arriba del todo correcta?

Answer 1

Asegúrese de haber normalizado todo correctamente en las soluciones analíticas y numéricas para que esté comparando manzanas con manzanas. ¿Es$n_x$ la longitud de onda? Si es así, entonces el factor de$\cos\left(k_x\frac{n_x}{4} \right)$ es solo 0. Eso parece correcto, ya que$u'_x$ es entonces$\pi/2$ fuera de fase con$\Delta \rho$, y la perturbación de la velocidad es simétrica. Intente configurar$\omega_r = 0$ para una solución más transparente. De lo contrario, todo se ve bien con la solución analítica.

Answer 2

Me gustaría ir sobre la discusión teórica de manera diferente.

Primero, considere irrotacional viscosos ondas, que se rige por la ecuación de Laplace en el interior, es decir, $$\nabla^2 \phi = 0$$ donde $\phi=\phi(x,z,t)$ es la velocidad potencial, $z$ vertical y $x$ la dirección horizontal.

Las condiciones de frontera para las ondas en el agua, en ausencia de viscosidad, son

$$ \phi_t+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 +gz =0;\quad \eta_t+\phi_x\eta_x = \phi_z \quad @z=\eta;$$

donde $\eta$ es el libre desplazamiento de superficie, y tanto las condiciones de contorno son evaluados en la superficie libre. Por último, tenemos las $\phi_z=0$$z=-h$, $h$ de la profundidad del agua, llevado a que tienden hacia el infinito. Nota, el consejo de la ecuación es lineal, sino que las condiciones de contorno no son lineales, y más sorprendentemente, son evaluados en una variable dependiente del sistema. El último de los cuales es la razón por la que estas ecuaciones son muy difíciles de resolver.

Ahora, un lineal de la onda estacionaria puede ser pensado como dos cargas de viaje de las ondas de igual amplitud y frecuencia. Tome $\omega$ a la frecuencia angular, y $k$ el número de onda, entonces es fácil mostrar que la linearización de las condiciones de contorno junto con Laplace de la ecuación implica

$$\phi = \frac{a\omega}{k} \cos kx \sin\omega t\ e^{kz}; \quad \eta=a\cos kx \cos \omega t$$

donde $\omega=\sqrt{gk}$.

Ahora, para agregar la viscosidad.

El movimiento descrito anteriormente puede existir incluso con la viscosidad si aplicamos los siguientes normal y tangencial de la superficie de tensiones:

$$\vec{F}\cdot \hat{z} =-p +2\mu \frac{\partial v}{\partial y} = -p+2\mu k^2\frac{a\omega}{k}\cos kx \sin \omega t\ e^{kz}$$ y $$\vec{F}\cdot \hat{x} = \mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)= -2\mu k^2 a\frac{\omega}{k} \sin kx \sin \omega t\ e^{kz}$$

con $\mu$ la viscosidad dinámica y $(u,v)=(\phi_x,\phi_z)$. Por lo tanto, el trabajo realizado por estas fuerzas, con un promedio de más de una longitud de onda y durante un período de oleaje

$$\frac{1}{T}\frac{1}{\lambda} \int_0^T\int_0^{\lambda} \vec{u}\cdot \vec{F} dx =\mu k^2 a^2, $$

donde suponemos que la amplitud de la onda varía lentamente en comparación con la frecuencia de la onda.

A continuación, el total de energía en una onda estacionaria es $E=\frac{1}{2} \rho g a^2$, por lo que en ausencia de fuerzas de superficie, debemos tener

$$\frac{d}{dt}E = 2\mu k^2 a^2 \omega \implies a=a_o^{-\nu k^2t}.$$

Se nota que la viscosidad cinemática $\nu =\mu/\rho$ es mucho más eficaz en el aniquilamiento de las ondas más cortas, como cabría esperar ingenuamente de la forma de la disipación dado en el Navier Stokes.

El teórico de la superficie libre del perfil de velocidad y potencial son

$$\eta= a_o^{-\nu k^2t}\cos kx \cos \omega ; \quad \phi =\frac{a_o^{-\nu k^2t} \omega}{k}\cos kx \sin \omega .$$

y, finalmente, los campos de velocidad son

$$(u,v) = a_o^{-\nu k^2t} \omega\sin \omega t \ e^{kz} (-\sin kx, cos kx).$$

Referencia: Cordero (1932, $\S$ 348)