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El espacio topológico de Hausdorff que es completamente regular es equivalente a la convergencia de redes.

Estoy leyendo un libro, donde está el siguiente teorema: SeaX un espacio topológico de Hausdorff. Entonces las declaraciones son equivalentes:

(a)X es completamente regular.

(b) Un{xi}% enX converge ax si y solo sif(xi)f(x) para cada función continuaf:X[0,1].

De la prueba en el libro está claro, que(a)(b), pero creo que la dirección(b)(a) queda fuera o simplemente no entiendo el argumento. ¿Podría alguien ayudarme por favor a entender esto?

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Stefan Hamcke Puntos 16889

SiX no es completamente regular, entonces hay un puntox y un vecindario abiertoU dex, tal que para cualquier mapa continuof:X[0,1], no el vecindario abiertoV alrededor def(x) tiene su preimagen enU, o, en otras palabras, el conjunto cerradoA:=XU tiene puntos asignados aV para cualquierV alrededor def(x).

Ahora podemos construir un% neta Φ:{V openf(x)V}Xtal quef(Φ)\to f(x) peroΦ\not\to x, al elegir para cada vecindarioV alrededor def(x) a puntoΦ(V)\in A\cap f^{-1}(V).

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