El espacio topológico de Hausdorff que es completamente regular es equivalente a la convergencia de redes.

Question

Estoy leyendo un libro, donde está el siguiente teorema: Sea$X$ un espacio topológico de Hausdorff. Entonces las declaraciones son equivalentes:

(a)$X$ es completamente regular.

(b) Un$\{x_i\}$% en$X$ converge a$x$ si y solo si$f(x_i) \to f(x)$ para cada función continua$f: X \to [0,1]$.

De la prueba en el libro está claro, que$(a) \implies (b)$, pero creo que la dirección$(b) \implies (a)$ queda fuera o simplemente no entiendo el argumento. ¿Podría alguien ayudarme por favor a entender esto?

Answer 1

Si$X$ no es completamente regular, entonces hay un punto$x$ y un vecindario abierto$U$ de$x$, tal que para cualquier mapa continuo$f:X\to[0,1]$, no el vecindario abierto$V$ alrededor de$f(x)$ tiene su preimagen en$U$, o, en otras palabras, el conjunto cerrado$A:=X\setminus U$ tiene puntos asignados a$V$ para cualquier$V$ alrededor de$f(x)$.

Ahora podemos construir un% neta $\Phi:\{V\text{ open}\mid f(x)\in V\}\to X $tal que$f(Φ)\to f(x)$ pero$Φ\not\to x$, al elegir para cada vecindario$V$ alrededor de$f(x)$ a punto$Φ(V)\in A\cap f^{-1}(V)$.