Deje que$T$ sea un toro sólido, ¿cómo calcular el grupo fundamental$\pi_1(\mathbb R^3- T)$? De manera intuitiva, creo que es un grupo libre con un generador. Entonces, si es así, ¿cómo obtenerlo y cuál sería el generador?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a ofrecer algunos consejos de como creo que este es un ejercicio que se debe practicar un poco con para realmente entender algunos de los instrumentos que se utilizan.
Como ya se ha mencionado un par de veces, es probablemente más fácil pensar de este espacio $X=\mathbb{R}^3\setminus T$ como el homotopy un espacio equivalente a $\mathbb{R}^3\setminus S^1$ donde $S^1$ es un unknotted círculo incrustado en $\mathbb{R}^3$ (Es interesante notar que el calificativo de 'unknotted' aquí es muy importante. Si $S^1$ está anudado, a continuación, el grupo fundamental de su complemento en $\mathbb{R}^3$ es conocido como el nudo de grupo del nudo y pueden ser muy diferentes, desde el nudo de grupo de la unknot).
Hay algunas maneras de abordar el problema ahora. Probablemente el más fácil de cómputo (aunque quizá el más difícil de visualizar) es tener en cuenta que el $\mathbb{R}^3\setminus S^1$ es homotopy equivalente a la cuña de la suma de a $2$-esfera y el círculo. Que es $\mathbb{R}^3\setminus S^1\simeq S^2\vee S^1$. Para ver esto, la deformación retraer $\mathbb{R}^3\setminus S^1$ on para el subespacio $B\setminus S^1$ donde $B$ es una sólida bola que contiene $S^1$. Ahora, 'empujar' el espacio negativo de la quitan $S^1$ a la frontera de la bola de modo que tenemos el espacio $S^2\cup I$ donde $I$ es un intervalo que une el norte y el polo sur de la esfera. Ahora usted puede arrastrar uno de los extremos del intervalo en torno al otro extremo de modo que se convierte en un círculo, dando a $S^2\vee S^1$. El resto es sólo algunas aplicaciones sencillas de Seifert-van Kampen y conocer los grupos fundamentales de los habituales espacios.
Otro enfoque sería 'slice' $3$-espacio a lo largo de un plano que también corta el círculo, dejando la mitad de dos espacios, cada uno con una quita intervalo cuyos extremos están en el límite de la mitad de los espacios. Si te "espesar" estos espacios de manera que su intersección es abierta en $\mathbb{R}^3\setminus S^1$, entonces se puede aplicar Seifert-van Kampen directamente a esta unión. La única parte difícil aquí es trabajar en el cual los elementos en el grupo fundamental de la intersección corresponden a la normal subgrupo que será uno de los factores de los productos gratis.
Otro enfoque podría ser utilizar el espacio que otro usuario ha construido en su respuesta.
EDITAR la respuesta se hace referencia se elimina por lo que me limitaré a decir que es el producto de la espacio de $S^1$ $H\setminus \{p\}$ donde $H$ es un espacio abierto de la mitad de avión, $p\in H$ y podemos ver este espacio como una superficie de revolución' en $\mathbb{R}^3$, que es homotopy equivalente a $(\mathbb{R}^3\setminus S^1)\setminus l$ donde $l$ es una línea infinita que pasa a través de $S^1$.
Si a continuación, considere la posibilidad de que la unión de este espacio con un tubular abierta barrio de $l$ es exactamente el espacio que usted está considerando, otra aplicación de Seifert-van Kampen debe permitir que el grupo fundamental de su espacio fácilmente (yo no he escrito esto para que yo no estoy seguro de si va a haber alguna dificultad en esta descomposición, pero no veo por qué no iba a ser).
