El significado denota las condiciones de verdad de una oración: lo que tendría que ser el caso para que la fórmula interpretada sea verdadera. Sin embargo, sin una interpretación, dos fórmulas lógicamente equivalentes expresan algo que las hace equivalentes. ¿Cuál es el nombre para eso?
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Creo que esta es una "resbaladizo" pregunta.
Podemos acercarnos a ella desde diferentes puntos de vista, con el aumento del grado de "dificultad" y, por así decir, "filosófica compromiso".
Primer enfoque : es posible evitar estar "involucrado" significado en la elucidación ?
Estancia, por simplicidad, con la lógica proposicional; tenemos que :
$\varphi \leftrightarrow \psi$ fib $\vdash \varphi \rightarrow \psi$$\vdash \psi \rightarrow \varphi$.
Si suponemos que el modus ponens, esta cantidad para "interderivability", es decir :
$\varphi \vdash \psi$ $\psi \vdash \varphi$.
No hay ningún "olor" de significado aquí. Pero, sin significado, es decir, sin la interpretación de las fórmulas anteriores, lo que se "expresa" por su equivalencia ?
Segundo método : hay una larga tradición en la moderna lógica con respecto a la "extensionality". A partir de Frege de la Begriffsschrift en adelante, la lógica matemática se ha preocupado principalmente con la verdad-funcional contextos.
Según Frege, la Bedeutung de toda una proposición es su valor de verdad, ya sea la Verdadera o la Falsa. Para Frge, completa proposiciones, como nombres, han objetos como sus Bedeutungen, y, en particular, de la verdad, los valores Verdadero o Falso. De esta manera, él es capaz de transcribir sentential conectivos tales como "y" y "o", etc., como funciones de verdad en el sentido más estricto - las funciones que toman verdad-valores como argumento y el rendimiento de la verdad-valores como valor. [ver Kevin Klement, Frege y la Lógica de Sentido y de Referencia (2002)]
De acuerdo a W&R [véase Alfred North Whitehead Y Bertrand Russell, Principia Mathematica, 56 (2ª ed - 1927), en la página 115] :
Es obvio que dos proposiciones son equivalentes cuando, y sólo cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Siguiente Frege, hemos de llamar la truthvalue de una proposición a la verdad, si es verdad, y la mentira si es falso. Así que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad.
AIt debe observarse que, si $p \equiv q$, $q$ puede ser sustituido por $p$ sin alterar el valor de verdad de cualquier función de $p$ que no implica primitivas ideas a excepción de los enumerados en el *1 [la verdad-funcional de las conectivas].
Vamos a dar el nombre de una verdad-función para una función de $f(p)$ cuyo argumento es una proposición, cuyo valor de verdad depende sólo del valor de verdad de su argumento. Todas las funciones de proposiciones, con los que vamos a estar especialmente interesados será verdad-funciones, es decir, vamos a tener
$p \equiv q . \supset .f(p) \equiv f(q)$.
La razón de esto es, que las funciones de las proposiciones con el que tratamos todo es construido por medio de las primitivas ideas de *1. Pero no es una característica universal de las funciones de las proposiciones para ser verdad-funciones. Por ejemplo, "Una cree $p$" puede ser cierto para un cierto valor de $p$ y falsa para otros.
En "moderno", esto es el llamado teorema de Sustitución [ver S. C. Kleene, Introducción a la Metamathematics (1952), página 116] :
Si $A$ $B$ son fórmulas, $C_A$ es una fórmula construida a partir de un determinado occurnce de $A$ utilizando sólo la verdad-funcional de las conectivas], y $C_B$ resultados de $C_A$ mediante la sustitución de esta ocurrencia de $A$$B$,$A \leftrightarrow B \vdash C_A \leftrightarrow C_B$.
Y de modo equivalente : $A \leftrightarrow B, C_A \vdash C_B$.
En un "universo" de "extensional" contextos, que por el considerado "simplificado" la semántica de los lenguajes lógicos, es fácil para "equiparar" la condición para que dos equivalentes fórmulas de tener la misma "verdad " condiciones" con el de expresar "la misma cosa".
Es probable entonces, que "esa cosa" es su significado.
Tercer enfoque : ver a Michael Dummett y su La Base Lógica de la Metafísica (Harvard, 1991) y la Prueba de la teoría de la Semántica.
La idea básica - creo - es construir una teoría del significado sin la verdad. Pero no estoy preparado para hablar de ello.
sewo
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Denis
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Los lógicos, el uso de la palabra semántica para referirse al "significado" de una fórmula. Es la interpretación de la fórmula en una estructura dada.
Por ejemplo, tome la Primera a la Orden del lenguaje con $+,*,0,Succ$ (el clásico de Peano idioma). Por ejemplo, $\varphi(x)=(\exists y. y*y=x)$ es una fórmula en este idioma. Si interpretamos $\varphi$ en la estructura de la $(\mathbb N,+,*,0,Succ)$, entonces la semántica de $\varphi$ es el conjunto de los números al cuadrado (el conjunto de $x$ que hace $\varphi(x)$ verdadero). Pero también podemos interpretar $\varphi$$(\{0,1\},\vee,\wedge,0,Succ)$, en cuyo caso su semántico es el conjunto $\{0,1\}$. Si una fórmula $\psi$ no contiene variables libres, entonces su semántica se implican $true$ o $false$, y todavía puede depender de la estructura, Por ejemplo, la fórmula de $\exists x,y,z: x\neq y\wedge x\neq z\wedge y\neq z$ afirma que la estructura tiene al menos $3$ elementos, de modo que es cierto en $\mathbb N$, pero falso en $\{0,1\}$.
Así que la semántica de $\varphi$ depende de la estructura en que se interpreta. Dos fórmulas son lógicamente equivalentes si tienen la misma semántica en virtud de todas las estructuras. Esto significa que su equivalencia no es un accidente debido a la estructura, sino que es "intrínseca" a las fórmulas: expresan la misma cosa, independientemente de ¿cuál es el significado preciso de los operadores.
user11300
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Por lo general, dos fórmulas lógicamente equivalentes express interderivability, o se podría decir que las fórmulas son interderivable. En otras palabras, en un determinado cálculo con los axiomas, si Una es lógicamente equivalente a B, entonces, si Una se pone supone, entonces podemos derivar B utilizando sólo las reglas de inferencia y los axiomas del cálculo, y si suponemos que B, entonces podemos derivar de Un uso de sólo las reglas de inferencia y los axiomas del cálculo.
Así, uno podría decir que lógicamente equivalente fórmulas de expresar la misma derivability.
Por ejemplo, en Lukasiewicz de tres valores de la lógica (p$\rightarrow$q) es equivalente a ($\lnot$q$\rightarrow$$\lnot$p) lo que implica que si (p$\rightarrow$p) es interderivable con ($\lnot$q$\rightarrow$$\lnot$p) (tenga en cuenta que esto NO implica que [(p$\rightarrow$q)$\rightarrow$($\lnot$q$\rightarrow$$\lnot$p)] es un teorema, NI que [($\lnot$q$\rightarrow$$\lnot$p)$\rightarrow$(p$\rightarrow$q)] es un teorema de aquí (aunque en realidad son teoremas aquí), ya que Lukasiewicz de tres valores de la lógica no tiene una deducción del teorema que permite el razonamiento de los teoremas de esta manera).
Interderivability en algunas formas de trata como una noción general de que la lógica de la equivalencia, ya que la lógica de la equivalencia sólo se aplica a los bien formados fórmulas. En contraposición, interderivability se aplica a conjuntos de bien formado fórmulas bajo una regla fija. Por ejemplo, el axioma del conjunto {CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CCNpNqCqp} bajo desprendimiento y uniforme de la sustitución es interderivable con el axioma del conjunto {CCpqCCqrCpr, CpCNpq, CCNppp} bajo el desprendimiento y la sustitución. Pero, el conjunto {CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CCNpNqCqp} bajo el desprendimiento y la sustitución no es equivalente a {CCpqCCqrCpr, CpCNpq, CCNppp} bajo el desapego y la sustitución, ya que ni el conjunto de sus reglas es un bien formado fórmula.
