Evaluación de la integral$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x\left ( 1+x^2 \right )^2}\,{\rm d}x$

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral:

$$\mathcal{J}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x\left ( 1+x^2 \right )^2}\,{\rm d}x$$

Bueno, hay $3$ polos , uno tumbado en la línea real de la otra en la mitad superior del plano y la otra en la mitad inferior del plano. El residuo de a $z=i$$\displaystyle -\frac{3}{4e}$ . Estoy integrando en un contorno que se parece a un semicírculo en la mitad superior del plano y tiene una rama sobre el origen .

Así que considera la función de $\displaystyle f(z)=\frac{e^{iz}+1}{z\left ( z+1 \right )^2}$, lo que es claramente analítica de espera para los polacos. Por lo tanto, si $\gamma$ denota el contorno y , a continuación:

$$\oint_{\gamma}f(z)\,{\rm d}z=\oint_{\gamma}\frac{e^{iz}+1}{z\left ( z^2+1 \right )^2}\,{\rm d}z =\oint_{\gamma}\frac{e^{iz}}{z\left ( z^2+1 \right )^2}\,{\rm d}z+\oint_{\gamma}\frac{{\rm d}z}{z\left ( z^2+1 \right )^2}=-2\pi i \frac{3}{4e}+2\pi i = 2\pi i \left ( 1-\frac{3}{4e} \right )=i \left (2\pi - \frac{3\pi}{2e} \right )$$

Hmm... aplicando el método clásico me sale que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,{\rm d}x =2\pi - \frac{3\pi}{2e}$$

que es casi correcto, excepto por la $2$ delante de $\pi$. Donde me han ido mal?

P. S: he utilizado muy obvio que el integrando es par.

Answer 1

Represente cuidadosamente el camino de la integración: es un semicírculo en la mitad superior del plano con una protuberancia en$z=0$ y un ojo de cerradura alrededor de$z=i$. Esto le da a usted que debe calcular los residuos de$f(z)=\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)^2}$ en$z=0$ y$z=i$, pero considerar solo la mitad del residuo en$z=0$:

$$\mathcal{J}=\frac{1}{2}\text{Im}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)^2}\,dz = \frac{1}{2}\text{Im}\left(2\pi i\operatorname{Res}(f(z),z=i)+\pi i\operatorname{Res}(f(z),z=0)\right)$ $ entonces:$$\mathcal{J} = \frac{1}{2}\text{Im}\left(2\pi i\cdot \frac{-3}{4e}+\pi i\right)=\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{3\pi}{2e}\right)=\color{red}{\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{3}{2e}\right)}.$ $

Answer 2

Otra forma de evaluar esta integral es usar el teorema de Parseval, que establece que para las funciones$f$ y$g$ con las respectivas transformadas de Fourier$F$ y$G$, tenemos

PS

Aquí y $$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) g^*(x) = \frac1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, F(k) G^*(k) $. Por lo tanto,$f(x) = \sin{x}/x$ cuando$g(x) = (1+x^2)^{-2}$ y$F(k) = \pi$ de lo contrario y$k \in [-1.1]$. La integral es entonces

PS

$0$ $$G(k) = (\pi/2) (|k|+1) e^{-|k|}$ $

Por lo tanto, la integral es igual a

PS

Answer 3

Otro enfoque: parametrice la integral como$$I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x\left ( 1+x^2 \right )^2}\,{\rm d}x$ $ Tome la transformada de Laplace, encuentre sus fracciones parciales y tome la transformada inversa: $$ \begin{align*}\mathcal{L}_s\{I(a)\}&=\int_0^\infty\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x\left ( 1+x^2 \right )^2}e^{-as}\,{\rm d}a\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty\frac{\mathcal{L}_s\{\sin ax\}}{x\left ( 1+x^2 \right )^2}\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty\frac{x}{x\left ( 1+x^2 \right )^2\left(s^2+x^2\right)}\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty\frac{{\rm d}x}{\left ( 1+x^2 \right )^2\left(s^2+x^2\right)}\\ &=-\frac{1}{(s^2-1)^2}\int_0^\infty\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{s^2-1}{(1+x^2)^2}-\frac{1}{s^2+x^2}\right)\,{\rm d}x\\ &=-\frac{1}{(s^2-1)^2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi(s^2-1)}{4}-\frac{\pi}{2s}\right)\\ &=\frac{\pi}{4}\left(\frac{2}{s}-\frac{2}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}\right)\\ I(a)&=\frac{\pi}{4}{\mathcal{L}^{-1}}_a\left\{\frac{2}{s}-\frac{2}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}\right\}\\ &=\frac{\pi}{4}(2+-2e^{-a}-ae^{-a})\end {align *} $$ Finalmente, ya que$\mathcal{J}=I(1)$ , tienes$$\mathcal{J}=\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{4e}$ $