Orden del grupo$GL_n(\mathbb{Z}_p)$

Question

Dado$GL_n(\mathbb{Z}_p)$, un grupo lineal general, donde$p$ es un número primo, ¿cómo se determina el orden de este grupo?

Tenemos$n^2$ elementos en una matriz$A \in GL_n(\mathbb{Z}_p)$, y cada elemento puede tener$p$ posibilidades para los números. Pero hay que cumplir una condición:$\det A \in \mathbb{Z}^*_p$. Entonces habrá$p$ determinantes en total. Ahí es donde me quedo atascado.

Answer 1

Sigue la pista de @anon. ¿Cuántos vectores hay que podrías usar para llenar la primera columna? El único vector que no podrías usar es el vector cero.

Entonces, ¿cuántos vectores hay que podrías usar para llenar la segunda columna? Recuerde que el segundo vector debería ser linealmente independiente del primero.

¿Y la tercera columna? Y así.