Suma de Riemann $\int x^m dx$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar la integral de Riemann de $x^m$ entre $a$ y $b$ con $b>a$ .

Hasta ahora he conseguido $$\int_a^b x^m~dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(a^m \times \frac{b-a}{n} \times \sum_{r=1}^n q^{(r-1)m}\right)$$

$$=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(a^m \times \frac{b-a}{n} \times \frac{q^{nm}-1}{q^m-1}\right)$$ pero no sé cómo evaluar este límite?

¿Alguna ayuda?

Olvidé mencionar que los puntos de división son $$a=aq^0,aq,aq^2,...aq^{r-1},aq^r,...aq^{n-1},aq^n=b$$ y estoy usando el punto final de la izquierda para calcular la suma, disculpas.

Answer 1

Supongamos que $0 < a < b$ . Entonces, para cada número entero positivo $n$ dejar $q = (b/a)^{1/n} > 1$ y considerar la partición $$\bigcup_{r=0}^{n-1} \, [aq^r, aq^{r+1}) = [a,b).$$ Entonces con $f(x) = x^m$ Considera que $$\begin{align*} S_n &= \sum_{r=0}^{n-1} (aq^{r+1} - aq^r)f(aq^r) \\ &= a^{m+1}(q-1) \sum_{r=0}^{n-1} (q^{m+1})^r \\ &= a^{m+1}(q-1) \frac{(q^{m+1})^n-1}{q^{m+1} - 1} \\ &= \left((aq^n)^{m+1} - a^{m+1}\right) \frac{q-1}{q^{m+1}-1} \\ &= \frac{b^{m+1} - a^{m+1}}{\sum_{k=0}^m q^k}. \end{align*}$$ Esto se debe a que $aq^n = b$ . Ahora bien, hay que tener en cuenta que sólo es el denominador de $S_n$ que es una función de $n$ a través de $q$ . Así que, como $n \to \infty$ , $q \to 1$ desde $b > a$ . Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b^{m+1} - a^{m+1}}{m+1}.$$

---

Por supuesto, la evaluación del límite al final es problemática si $m$ no es a su vez un número entero no negativo. Dejo al lector que considere el caso general en el que $m \ne 0$ del límite $$\lim_{q \to 1} \frac{q^m - 1}{q-1}.$$