Desglose de la solución de la ecuación de transporte no lineal

Question

Supongamos que tenemos la ecuación de transporte no lineal $$u_t+uu_x=0$$ con datos iniciales $$u(x,0)=g(x)=\begin{cases} 1, & x>1 \\-x, & -1\leq x< 0 \\x, & 0\leq x\leq 1\end{cases}$$

Resolviendo las EDOs características, tenemos que $u(x,t)=f(x-ut)$ donde $f$ es algún tipo de $C^1$ función. La solución clásica antes de las ondas de choque viene dada por:

$$u(x,t)=\begin{cases} 1, & x-ut>1 \\-x, & -1\leq x-ut< 0 \\ x, & 0\leq x-ut\leq 1\end{cases}$$

que se puede reescribir también como

$$u(x,t)=\begin{cases} 1, & x>1+ut \\-x, & -1+ut\leq x< ut \\ x, & ut\leq x\leq 1+ut\end{cases}$$

para el caso $-1\leq x<0$ Creo que la solución debería ser $u(x,t)=\dfrac{-x}{1-t}$ y para $0\leq x\leq 1$ la solución debe ser $u(x,t)=\dfrac{x}{1+t}$ .

Ahora hay una onda expansiva en $t=-1$ , como $u(x,t)=\dfrac{-x}{1-t}$ para $x\in [-1,0)$ tiene una singularidad en $t=-1$ pero no se produce tal singularidad con $u(x,t)=\dfrac{x}{1+t}$ para $x\in[0,1]$ . Para $x>1$ ¿tenemos simplemente $u(x,t)=\dfrac{x}{t}$ ?

Aquí es donde me quedo atascado, y no estoy seguro de cómo proceder para obtener la solución completa $u(x,t)$ para lo suficientemente pequeño $t$ .

Suponiendo que tuviera una solución, será a trozos $C^1$ Puedo utilizar la condición $T_b=\dfrac{-1}{\min_{x}g'(x)}$ en cada una de las piezas para determinar cuándo se producen los choques. Sin embargo, no estoy seguro de cómo elaborar los detalles o interpretar correctamente las ondas de choque en un sentido físico.

Answer 1

Esta ecuación de transporte es la ecuación invisible de Burgers . La figura siguiente representa las curvas características en el $x$ - $t$ avión:

Aquí, el tiempo de ruptura en el que las características se cruzan por primera vez es $$ T_b = \frac{-1}{\min_x g'(x)} = 1\, . $$ De hecho, la singularidad en $\frac{-x}{1-t}$ se produce en $t=1$ .

Ahora, vamos a calcular la solución completa. En $t=1$ , características que provienen de $-1<x<0$ se cruzan, y deben detenerse en $t=1$ . Si consideramos la posición $(x,t)$ en la zona $x>0$ , $t>1$ Tenemos datos procedentes de $0<x<1$ pero no hay otros datos. No hay ninguna onda de choque en esta zona.

Sin embargo, si añadimos los datos $u(x,0) = 1$ para $x<-1$ obtenemos el siguiente esquema del $x$ - $t$ avión:

Una onda de choque se produce en $t=1$ cuya velocidad está determinada por los datos $u_L(x,t)=1$ a la izquierda, y los datos $u_R(x,t) = \frac{x}{1+t}$ a la derecha. La condición Rankine-Hugoniot indica que la onda de choque se propaga a lo largo de la curva $(x_s(t),t)$ dado por \begin{aligned} x_s'(t) &= \frac{1}{2} \left(u_L(x_s(t),t)+u_R(x_s(t),t)\right) \\ &= \frac{1}{2}\left( 1 + \frac{x_s(t)}{1+t} \right) , \end{aligned} con la condición inicial $x_s(1)=0$ . Por lo tanto, el choque se encuentra en $x_s(t) = 1+t - \sqrt{2}\sqrt{1+t}$ para $t>1$ .