¿Cuáles son los principales obstáculos para resolver el problema de los muchos cuerpos en la mecánica cuántica?

Question

(Esta es una pregunta sencilla, con una respuesta probablemente bastante complicada).

¿Cuáles son los principales obstáculos para resolver el problema de los muchos cuerpos en la mecánica cuántica?

En concreto, si tenemos un hamiltoniano para una serie de partículas interdependientes, ¿por qué es tan difícil resolver la función de onda independiente del tiempo? ¿Se trata de un problema esencialmente matemático, o hay también cuestiones físicas? El problema de muchos cuerpos de la mecánica newtoniana (por ejemplo, los cuerpos gravitatorios) parece ser muy difícil, sin solución para el $n \ge 3$ problemas. ¿Es el caso de la mecánica cuántica más fácil o más difícil, o ambos en algunos aspectos?

En relación con esto, ¿qué tipo de aproximaciones/aproximaciones se suelen utilizar para resolver un sistema compuesto por muchos cuerpos en estados arbitrarios? (Por supuesto, tenemos la teoría de perturbaciones, que a veces es útil, aunque no en el caso de un alto acoplamiento/interacción. La teoría funcional de la densidad, por ejemplo, se aplica bien a los sólidos, pero ¿qué pasa con los sistemas arbitrarios?)

Por último, ¿es teóricamente y/o prácticamente imposible simular fenómenos de alto orden, como las reacciones químicas y las funciones biológicas, de forma precisa utilizando la mecánica cuántica de Schrodinger, por encima incluso de la QFT (teoría cuántica de campos)?

(Nota: esta pregunta está pensada en gran medida para la siembra, aunque también tengo curiosidad por las respuestas más allá de lo que ya sé).

Answer 1

En primer lugar, permítanme decir que el $N$ -El problema de los cuerpos en la mecánica clásica no es difícil desde el punto de vista computacional para aproximar una solución. Simplemente, en general, no existe una solución analítica de forma cerrada, por lo que hay que recurrir a la numérica.

Para la mecánica cuántica, sin embargo, el problema es mucho más difícil. Esto se debe a que en la mecánica cuántica, el espacio de estados necesario para representar el sistema debe ser capaz de representar todas las superposiciones posibles de partículas. Mientras que el número de estados ortogonales es exponencial en el tamaño del sistema, cada uno tiene una fase y una amplitud asociadas, lo que incluso con la discretización de grano más grueso conducirá a una doble exponencial en el número de estados posibles necesarios para representarlo. Así, en los sistemas cuánticos se necesita $O(2^{2^n})$ variables para aproximar razonablemente cualquier estado posible del sistema, frente a sólo $O(2^n)$ necesarios para representar un sistema clásico análogo. Como podemos representar $2^m$ estados con $m$ bits, para representar el espacio de estado clásico sólo necesitamos $O(n)$ bits, frente a $O(2^n)$ bits necesarios para representar directamente el sistema cuántico. Por eso se cree que es imposible simular un ordenador cuántico en tiempo polinómico, pero la física newtoniana puede simularse en tiempo polinómico.

Calcular los estados básicos es aún más difícil que simular los sistemas. De hecho, en general, encontrar el estado básico de un hamiltoniano clásico es NP-completo mientras que encontrar el estado básico de un Hamiltoniano cuántico es QMA-completo . (Por otro lado, los estados básicos son hasta cierto punto menos relevantes porque los sistemas para los que es computacionalmente difícil calcular el estado básico (al menos en un QC) tampoco se enfrían eficientemente).

Answer 2

La respuesta es bastante sencilla: el clásico problema de los N cuerpos tiene su solución en $6N$ funciones 1D del tiempo, el problema cuántico de N cuerpos tiene su solución en una función compleja, pero $3N$ -dimensionales (sin contar el giro y cosas similares). Entonces, no es de extrañar que uno pueda encontrar soluciones analíticas sólo para problemas triviales o al menos hacer $N$ enorme y escapar a la mecánica estadística. Y sí, esto es sólo el problema de la complejidad matemática aquí.
Desde el punto de vista de la modelización, la resolución exacta también parece inútil, ya que sólo la complejidad de la memoria de $\mathcal{O}(K^{3N})$ .

Para el resto de la respuesta me limitaré a la química cuántica/ciencia de los materiales, ya que es la región más explotada, lo que significa que ahora hablamos de átomos. En primer lugar, los átomos tienen núcleos pequeños y muy pesados, que por tanto pueden tratarse como fuentes casi estacionarias de potencial electrostático; esto reduce el problema a los electrones únicamente (Born-Oppenheimer aprox.). Ahora, hay dos rutas principales a seguir: Hartree-Fock o la Teoría del Funcionamiento de la Densidad.
En HF, uno representa a grandes rasgos la función de tejido de muchos cuerpos como una combinación de algunas funciones base estándar -- entonces uno puede optimizar sus contribuciones para obtener una energía mínima, pero utilizando el Hamiltoniano extendido para ajustar los efectos de dicha aproximación. En la DFT, uno, animado por los teoremas de Hohenberg-Kohn, reduce la función de trama de muchos cuerpos a un campo de densidad de probabilidad de electrones (tridimensional), y, en consecuencia, los términos de la ecuación de Shroedinger a funciones de densidad (y ahí se aplican las aproximaciones). A continuación, se puede resolver como este campo 3D o de la manera Kohn-Sham, que es más o menos Hartree-Fock para DFT (uno representa la densidad con funciones base). La gente a veces hace algo analítico aquí, pero esas son principalmente teorías hechas para apoyar los enfoques computacionales.

Y finalmente tu última pregunta: esos métodos aproximados (pero todavía ab initio -- (no hay parámetros experimentales en este caso) predicen cosas como las reacciones químicas, varios espectros y otras cantidades medibles; aunque la precisión es problemática. La biología está mayormente fuera de su alcance debido a la escala de tiempo; al menos hay métodos híbridos capaces de mezclar, por ejemplo, la simulación clásica del movimiento de las proteínas con la simulación cuántica del sitio de unión cuando se aprieta lo suficiente para que pueda tener lugar algo cuántico como una reacción enzimática.

Answer 3

En un nivel más abstracto, el problema es la linealidad frente a la no linealidad. Es sencillo resolver una serie de ecuaciones lineales, y siempre dan una respuesta analítica. Sin embargo, las ecuaciones no lineales producen un comportamiento caótico, que no puede generalizarse en la mayoría de los casos.

Como ejemplo, el problema newtoniano de 3 cuerpos implica 2C3 = 3 ecuaciones no lineales; la no linealidad proviene de la r 2 relación. Y 3 relaciones no lineales son el requisito mínimo para un sistema caótico.

Del mismo modo, la mecánica cuántica implica un gran número de ecuaciones no lineales -dado un conjunto de 3 electrones, cada uno de ellos repelerá a los demás a través de una relación no lineal, y con una complejidad aún mayor que el problema newtoniano en el que todas las cosas son conocidas y determinables.

Así pues, la respuesta sencilla es que el problema es matemático y no se puede resolver para el caso general, que resulta de la física, y que el caso cuántico es efectivamente peor que el clásico.

Answer 4

Además de lo que mbq dijo Puede ser interesante saber que las cosas se ponen realmente divertidas en la mecánica cuántica relativista, es decir, utilizando la Klein-Gordon y el Ecuación de Dirac (pero sin la "segunda" cuantificación de Teoría Cuántica de Campos ). Allí, hay un función de onda por partícula ordenar Así que no importa cuántas partículas de un tipo se consideren, lo único que cambia es el propio campo. Sólo se obtienen más grados de libertad añadiendo otro tipo de partículas. Por supuesto, como los fermiones requieren Spinors ...puede terminar con otros problemas de computación entonces...

Answer 5

La ecuación de muchos cuerpos es inmensamente difícil de estudiar, tanto clásica como cuánticamente. El difunto John Pople, de la Universidad de Northwestern, ganó el Premio Nobel en 1998 por sus modelos numéricos de las funciones de onda de los átomos, desarrollando una base teórica para sus propiedades químicas. Aquí hay un enlace:

http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/