$$p^2+q^2=((2q+1)^2+q+1)^2+1$ $ ¿Cómo encuentro soluciones enteras para esta ecuación? Ya he encontrado$(p,q)=(11,1)$. ¿Cómo hago para encontrar nuevos?
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Stephan Aßmus
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Para $q \geq 21,$ $$ (4q^2 + 5 q + 1)^2 < p^2 < (4q^2 + 5q + 2)^2 $$ porque $$ q \geq 21 \Longrightarrow 41 q^2 > 40 q^2 + 20 q + 5 $$ Por lo tanto $$ (4q^2 + 5 q + 1) < p < (4q^2 + 5q + 2) $$ y $p$ no puede ser un número entero.
Debe ser algo similar para el negativo $q.$
Sí, $$ q \leq -3 \Longrightarrow 0 < 7 q^2 + 20 q + 5, $$ de modo que ambos lados de la desigualdad de trabajo. También, podemos obtener la necesaria $4 q^2 + 5 q> 0$ al $q \leq -3.$
Aquí está la página 268 de Mordell del libro, Diophantine Ecuaciones. Él da los pocos ejemplos en los que todas las soluciones se pueden encontrar (pero no las desigualdades aplicar) en las páginas siguientes.
supremum
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PS
Entonces, para un entero$$\begin{align}p^2+q^2&=((2q+1)^2+q+1)^2+1\\\implies p^2+q^2&=16q^4+40q^3+41q^2+20q+5 \\\implies p^2&=16q^4+40q^3+40q^2+20q+5\end{align}$ si$q$ es un cuadrado perfecto, entonces obtendrás soluciones enteras para tu ecuación.
- $16q^4+40q^3+40q^2+20q+5$
- $q=1\implies16q^4+40q^3+40q^2+20q+5=121=11^2$
Entonces,$q=-1\implies16q^4+40q^3+40q^2+20q+5=1=1^2$ y$(11,1)$ son soluciones, otras pueden existir.
