Cambio de la suma doble finita$\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^i f(k) = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k f(n+1-k).$

Question

Tengo un doble de la suma de la forma $$ \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^i f(k) $$ y quiero cambiar el orden de las sumas. Desde el diseño de algunas de las fotos estoy bastante seguro de que $$ \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^i f(k) = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k f(n+1-k). $$

De nuevo, la escritura de los términos, esto parece bastante claro, pero estoy buscando de una manera más precisa la prueba. He intentado un cambio de variable, pero no parece ser capaz de encontrar algo que funcione. Así que mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar rigurosamente la fórmula anterior?

EDIT: de Nuevo, puedo ver que la fórmula es verdadera simplemente la escritura de los términos y recogerlos de nuevo. Por lo que puedo ver que voy a $n$ términos de $f(1)$ $n-1$ términos de $f(2)$.

Lo que estoy buscando específicamente es una rigurosa prueba de que la fórmula se mantiene. Hay, por ejemplo, alguna forma de hacer esto por un cambio de variables? O alguna manera de manipular algebraicamente la suma?

Answer 1

Es incluso mejor-usted puede escribir como una suma única $$\sum_{k=1}^n (n-k+1)f(k)$$ which is the same thing as $$\sum_{k=1}^n kf(n-k+1)$$ por reindexación de la suma en orden inverso (uso de cualquier forma que usted prefiera). Eso es porque el plazo $f(j)$ aparece exactamente en su interior sumas de dinero para que $i$ al menos $j$, es decir, para los valores de $i$$j\leq i \leq n$; hay $n-j+1$ índices en el rango de $j,j+1,j+2,\ldots,n$.

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Addendum: A ver que el doble de la suma se reduce a medida que se indica, escribir el interior sumas de dinero en filas separadas: $$f(1)+\tag{row $1$}$$ $$f(1)+f(2)+\tag{row $2$}$$ $$f(1)+f(2)+f(3)+\tag{row $3$}$$ $$\cdots +$$ $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n)\tag{row $n$}$$ Nota: $f(1)$ aparece en las filas de la $1$ a $n$, $f(2)$ aparece en las filas de la $2$$n$, $f(j)$ aparece en las filas de la $j$$n$.

Esto significa que no se $n-j+1$ copias de $f(j)$ en la suma. Por ejemplo, $n-1+1=n$ copias de $f(1)$, $n-2+1=n-1$ copias de $f(2)$, $n-3+1=n-2$ copias de $f(3)$, etc.

Así que toda la suma es $nf(1)$ $(n-1)f(2)$ $(n-2)f(3)$ etc.; el término genérico aquí es $(n-j+1)f(j)$, por lo tanto el primero de una sola suma.

A indexar, simplemente reemplace $k$ en el primer sumando con $n-k+1$. Esto simplemente se invierte el orden de la suma.

Nota: Si un índice $m$ pistas de$a$$b$, el índice de $m'\equiv b-m+a$ pistas de$b$$a$. Desde que se suma los mismos términos en orden inverso, se debe tener claro que $$\sum_{m=a}^b t(m) =\sum_{m=a}^b t(b-m+a)$$

Answer 2

Una derivación puede ir de la siguiente manera:

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^if(k)} &=\sum_{1\leq k\leq i\leq n}f(k)\tag{1}\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{i=k}^nf(k)\tag{2}\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{i=n-k+1}^nf(n-k+1)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^kf(n-k+1)}\tag{4}\\ &=\sum_{k=1}^nf(n-k+1)\sum_{i=1}^k1\tag{5}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{k=1}^nkf(n-k+1)}\tag{6} \end{align*} donde (4) es la representación reclamado por la OP seguido por algunas simplificaciones.

Comentario:

• En (1) podemos reescribir el rango del índice para ver la relación entre el $i$ $k$ más convenientemente.

• En (2) cambiamos el orden de la suma mediante el intercambio de las sumas.

• En (3), invertimos el orden de la suma del exterior suma estableciendo el índice de $k\to n-k+1$.

• En (4) el cambio en el índice del interior de la suma de $i\to i-(n-k)$ a empezar con $i=1$.

• En (5) factor $f(n-k+1)$, que no depende del índice de $i$.

• En (6) vamos a reemplazar el interior de la suma por el factor de $k$.

Answer 3

Si $ s (n) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {k = 1} ^ if (k) $, entonces esto tiene en la suma interna todos los$k$ con$1 \le k \le i \le n$.

Esto se puede reorganizar como $ s (n) = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {i = k} ^ nf (k) = \ sum_ {k = 1} ^ n (n-k +1) f (k) $, ya que la nueva suma interna no depende de$i$.

Answer 4

Dado que$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} f(n-k+1)$ $, se puede usar el método de la función de generación para mostrar la igualdad. Esto es visto por lo siguiente. \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} f(k) \, t^{n} &= \sum_{n,i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{i} f(k) \, t^{n+k} \\ &= \sum_{n,i,k=1}^{\infty} f(k) \, t^{n+k+i} \\ &= \frac{t^2}{(1-t)^{2}} \, \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \, t^{k} \end {align} Para el lado derecho es más fácil considerarlo en la forma$$\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} f(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} k \, f(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (n-k+1) \, f(k)$ $ y luego tomar la función de generación. Cuando se complete, se mostrará que las funciones de generación del lado izquierdo y derecho son iguales.