Ayuda para mostrar $\lim\limits _{x\to -\infty \:}\left(\sqrt{4\cdot \:x^2-5\cdot \:x}+2\cdot \:x\right) = \frac{5}{4}$

Question

Estoy atascado resolviendo el siguiente límite. Sé que la respuesta es 5/4, pero no lo consigo. Estos son los pasos que he hecho hasta ahora.

$\lim _ \limits{x\to -\infty \:}\left(\sqrt{4\cdot \:x^2-5\cdot \:x}+2\cdot \:x\right)$

Multiplicar por Conjugado

$\lim _ \limits{x\to -\infty \:}\left(\sqrt{4\cdot \:x^2-5\cdot \:x}+2\cdot \:x\right)\cdot \frac{\left(\sqrt{4\cdot \:\:x^2-5\cdot \:\:x}-2\cdot \:\:x\right)}{\left(\sqrt{4\cdot \:\:x^2-5\cdot \:\:x}-2\cdot \:\:x\right)}$

Multiplicación

$\lim\limits_{x\to -\infty \:}\cdot \frac{\left(4\cdot \:\:\:x^2-5\cdot \:\:\:x-4\cdot \:\:x\right)}{\left(\sqrt{4\cdot \:\:x^2-5\cdot \:\:x}-2\cdot \:\:x\right)}$

Combinar términos similares

$\lim\limits_{x\to -\infty \:}\cdot \frac{\left(4\cdot \:\:\:x^2-9\cdot \:\:x\right)}{\left(\sqrt{4\cdot \:\:x^2-5\cdot \:\:x}-2\cdot \:\:x\right)}$

Factor x

$\lim\limits_{x\to -\infty \:}\cdot \frac{x\left(4\cdot \:x-9\right)}{\left(\sqrt{x^2\left(4-\frac{5}{x}\right)}-2\cdot \:\:x\right)}$

Saca x de sqrt y factoriza de nuevo

$\lim \limits_{x\to -\infty \:}\cdot \frac{x\left(4\cdot \:x-9\right)}{x\left(\sqrt{\left(4-\frac{5}{x}\right)}-2\right)}$

Ahora cancela x términos

$\lim \limits_{x\to -\infty \:}\frac{4\cdot \:\:x-9}{\sqrt{\left(4-\frac{5}{x}\right)}-2}$

Ahora no sé qué hacer a continuación. Si me conecto me sale

$\frac{4\cdot \:\:\:-\infty \:-9}{\sqrt{\left(4-0\right)}-2}=\:\frac{-\infty \:}{0}$ Lo que no equivale a $\frac{5}{4}$ ?

Answer 1

\begin{align*} \lim_{x\to-\infty}\sqrt{4x^2-5x}+2x&=\lim_{x\to-\infty}-2x\sqrt{1-\frac{5}{4x}}+2x\\ &=\lim_{x\to-\infty}2x\left(1-\sqrt{1-\frac{5}{4x}}\right)\\ &=\lim_{x\to-\infty}2x\cdot \frac{\frac5{4x}}{1+\sqrt{1-\frac{5}{4x}}}\\ &=5/4. \end{align*}

Answer 2

Una pista: Puede utilizar el hecho de que $$ \sqrt{4-5t} = 2\sqrt{1-\frac{5}{4}t} = 2\left(1-\frac{5}{8}t + o(t)\right) $$ cuando $t\to 0$ . (Esta es la aproximación de Taylor de $\sqrt{1+t}$ alrededor de $0$ .) Tenga en cuenta que cuando $x\to-\infty$ , $t=\frac{1}{x}\to 0$ .

Además, tienes algunos problemas en tu derivación. Por ejemplo, $x\to -\infty$ Así que, en particular, es negativo: $$ \sqrt{x^2} = \lvert x\rvert = -x $$ (cuando se factoriza). Además, incluso antes, al multiplicar por el conjugado deberías haber obtenido un $-4x^2$ no $-4x$ en el numerador.

Answer 3

Ampliando la respuesta de DirkGently, este es el punto en el que se multiplica por el conjugado es útil:

$\begin{array}\\ \lim_{x\to-\infty}2x\left(1-\sqrt{1-\frac{5}{4x}}\right) &=\lim_{x\to-\infty}2x\left(1-\sqrt{1-\frac{5}{4x}}\right) \frac{1+\sqrt{1-\frac{5}{4x}}}{1+\sqrt{1-\frac{5}{4x}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}2x\frac{\left(1-(1-\frac{5}{4x})\right) }{1+\sqrt{1-\frac{5}{4x}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}2x\frac{\left(\frac{5}{4x})\right) }{1+\sqrt{1-\frac{5}{4x}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{5}{2} }{2}\\ &= \frac54\\ \end{array} $

Answer 4

De alguna manera, te faltó un cuadrado. $$ (\sqrt{4x^2-5x})^2-(2x)^2=4x^2-5x-4x^2=-5x $$ lo que simplifica radicalmente el consiguiente cálculo de los límites, $$ \lim_{x\to-\infty}\frac{5|x|}{\sqrt{4x^2+5|x|}+2|x|} =\lim_{x\to-\infty}\frac{5}{\sqrt{4+5/|x|}+2}=\frac54 $$